Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 10
Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma seqüência, ao passo que se ocorre o evento CRC temos três seqüências. Defina a v.a. X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X (CRR) = 1 e Y (CRR) = 2. Obtenha as distribuições de X e Y. Calcule E(X), E(Y), Var(X) e Var(Y).
Passo 1
Vamos lá! Primeiro precisamos entender o enunciado.
Como são lançadas três moedas cada uma com dois possíveis resultados (cara(C) ou coroa(R)), temos possíveis eventos. Caso ocorra um evento CCC, temos uma sequência, porque não houve alternância entre cara e coroa, ou seja, saiu cara nas três moedas, ao passo que se ocorre o evento CRC, temos três sequencias, porque saiu cara, coroa e cara respectivamente, havendo essa alternância.
Inicialmente, precisamos definir nosso espaço amostral, ou seja, o conjunto de todos os eventos possíveis. Dessa forma, temos que o espaço amostral é:
Passo 2
Olhando nosso espaço amostral, podemos determinar X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, como são 8 possíveis eventos, cada um tem probabilidade de 1/8. Assim, podemos montar a seguinte tabela:
Passo 3
Com base na tabela do Passo 2, podemos calcular P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(Y=1), P(Y=2) e P(Y=3).
Para P(X=0): Temos apenas o evento RRR, logo P(X=0) = 1/8
Para P(X=1): Temos os eventos RRC, RCR e CRR, logo P(X=1) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
Para P(X=2): temos os eventos RCC, CRC e CCR, logo P(X=2) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
Para P(X=3): temos apenas o evento CCC, logo P(X=3) = 1/8
Para P(Y=1): temos os eventos RRR, CCC, logo P(X=1) = 1/8 + 1/8 =2/8
Para P(Y=2): temos os eventos RRC, CRR, RCC e CCR, logo P(X=2) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8
Para P(Y=3): temos oss evento RCR e CRC, logo P(X=3) = 1/8 +1/8 = 2/8
Agora que nós conhecemos as probabilidades para cada valor de X e Y, fica fácil arrumarmos a tabelinha das distribuições.
Distribuição de probabilidades da v.a. X = número de caras obtidas.
Distribuição de probabilidades da v.a. Y = número de sequências.
Passo 4
Com base nas distribuições de X e Y, vamos calcular E(X), E(Y), Var(X) e Var(Y).
Resposta
