Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 11
Suponha que X tenha f.d.p. f(x) do Problema 1. Calcule E(X) e Var(X).
Passo 1
No problema 1 encontramos a seguinte f.d.p:
Para encontrar utilizamos a fórmula:
E como a f.d.p. tem valor nulo para , só integraremos de até :
E para resolver essa integral, faremos integral por partes:
Aonde:
Com isso, teremos:
E integrando, teremos:
Substituindo os limites e pondo em evidência o que dá:
Para resolver corretamente, precisamos aplicar o limite nessa função:
Aqui, podemos usar a consideração de que a função exponencial cresce mais rapidamente do que a função polinomial.
Por isso, dizemos que chega em mais rapidamente do que chega em ou podemos aplicar L’hopital (que é só derivar em cima e embaixo) , por isso:
Logo teremos:
Portanto, a esperança será:
Passo 2
Para o cálculo da variância utilizamos a fórmula
Já sabemos que
Só falta agora resolver a seguinte integral:
Iremos integrar por partes denovo:
Aonde, usaremos:
Substituindo, teremos:
Essa integral é bem parecida com a integral que resolvemos na letra , resolvendo-a por partes, teremos:
Organizando:
E substituindo os limites de integração, teremos:
E como a função exponencial vai para zero mais rapidamente que a polinomial vai para infinito, teremos:
Portanto, a variância será:
E assim, fechamos essa!