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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 15

Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0, 1, 2, ..., 5 e tal que P X = j = k × 0,8 × 0 , 2 j ,   j = 0 ,   1 ,   2 ,   … , 5 .

  1. Para qual valor de k a expressão acima é uma função de probabilidade?
  2. Calcule P X = 3 X < 5 .

Passo 1

Em (a), para termos uma função de probabilidade temos de atender as seguintes condições:

i   P x ≥ 0 ,   p a r a   t o d o   x

i i   Σ   P x = 1

Analisando a função P X = j = k × 0,8 × 0,2 j já vemos que k ≠ 0 , pois senão já deixaria de ser uma função de probabilidade, vamos testar então se o somatório das probabilidades será igual a 1. Assim,

∑ j = 0 5 P X = j = k × 0,8 × 0,2 j = 1

0,8 k ∑ j = 0 5 0,2 j = 1

0,8 k 1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 0,0016 + 0,00032 = 1

0,999936 k = 1 → k ≅ 1

Assim, nossa função de probabilidade ficará da seguinte maneira:

P X = j = 1 × 0,8 × 0,2 j

Passo 2

Em (b) vamos calcular P X = 3 X < 5 , então, começaremos calculando cada uma das partes inicialmente, assim:

P X = 3 = 1 × 0,8 × 0,2 3 = 0,0064

P X < 5 = 1 - P X = 5 = 1 - 1 × 0,8 × 0,2 5 = 0,99974

Assim,

P X = 3 X < 5 = 0,0064 × 0,99974 = 0,00639

Resposta

  1. k ≅ 1 ;
  2. 0,00639.
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