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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 49

Dada uma amostra aleatória de tamanho 24 de uma distribuição normal, determine k de modo que

(a) P - 2,069 < T < k = 0,965 ;

(b) P k < T < 2,807 = 0,095 ;

(c) P - k < T < k = 0,90 ;

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Nós temos uma amostra de tamanho n = 24 de uma distribuição normal com média μ , então a variável aleatória:

T = X ^ - μ S n

Tem uma distribuição t com v = n - 1 = 23 graus de liberdade.

Neste caso, X ^ e S 2 são a média amostral e o desvio-padrão, respectivamente.

Pela definição, o valor t α representa o valor t acima do qual encontramos uma área igual a α , ou seja, sabemos que:

P T > t α = α

Então, para os cálculos!!!

Passo 2

O enunciado nos deu a seguinte equação:

0,965 = P - 2,069 < T < k = P T > - 2,069 - P T > k

Usando a tabela de distribuição t que nos diz que t 0,025 = 2,069 .

= P T > - t 0,025 - P T > k

= P T > t 1 - 0,025 - P T > k

= P T > t 0,975 - P T > k

= 0,975 - P T > k

Sendo assim, podemos calcular o valor de k como:

P T > k = 0,975 - 0,965 = 0,01

k = t 0,01

Usando novamente a tabela de distribuição t :

k = 2,5

Passo 3

De forma similar a letra (a), nós temos a equação a seguir:

0,095 = P k < T < 2,807 = P T > k - P T > 2,807

= P T > k - P T > t 0,005

Usando a tabela de distribuição t :

= P T > k - 0,005

Portanto, calculando o valor de k :

P T > k = 0,095 + 0,005 = 0,1

k = t 0,1

Usando a tabela de distribuição t :

k = 1,319

Passo 4

Por fim, vamos calcular a última equação:

0,90 = P - k < T < k = P T > - k - P T > k

Usando o fato de que a distribuição t é simétrica:

= 1 - P T > k - P T > k

= 1 - 2 P T > k

Então, obtemos a seguinte equação:

P T > k = 1 - 0,9 2 = 0,05

k = t 0,05

Usando a tabela de distribuição t :

k = 1,714

Resposta

a) 2,5

b) 1,319

c) 1,714

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