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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 36

Duas ligas de metal, A e B , são usadas para a fabricação de certo produto de aço. Um experimento precisa ser planejado para comparar as duas ligas em termos de capacidade máxima de carga, em toneladas. Esse é o máximo que pode ser tolerado sem haver quebras. Sabe-se que os dois desvios-padrão da capacidade de carga são iguais a cinco toneladas cada. Um experimento foi conduzido, no qual 30 espécimes de cada liga ( A e B ) foram testados e resultaram em

x - A = 49,5 ,             x - B = 45,5 ,                   x - A - x - B = 4

Os fabricantes da liga A estão convencidos de que esta evidência mostra conclusivamente que μ A > μ B e apoiam firmemente sua liga. Os fabricantes da liga B afirmam que o experimento poderia ter facilmente resultado em x - A - x - B = 4 , mesmo se as médias das duas populações fossem iguais. Em outras palavras, ‘as coisas estão inconcludentes’!

(a) Crie um argumento de que os fabricantes da liga B estão errados. Faça isso calculando

P X - A - X - B > 4   μ A = μ B .

(b) Você acredita que esses dados apoiam fortemente o fabricante A ?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. As amostras tem os seguintes tamanhos n A = n B = 30 , enquanto os desvios-padrão são σ A = σ B = 5 .

A distribuição amostral de X ^ A - X ^ B será aproximadamente normal, e como determinamos que estamos assumindo que μ A = μ B , teremos a seguinte média e desvio padrão:

μ X ^ A - X ^ B = μ A - μ B = 0

σ X ^ A - X ^ B = σ A 2 n A + σ B 2 n B = 25 30 + 25 30 = 1,291

Então, para os cálculos!!!

Passo 2

Agora, podemos encontrar a probabilidade solicitada:

P X ^ A - X ^ B > 4 μ A = μ B = P Z > 4 - μ X ^ A - X ^ B σ X ^ A - X ^ B

= P Z > 4 - 0 1,291

= 1 - P Z ≤ 3,098

Usando os valores da tabela de valores de distribuição normal, temos:

= 1 - 0,999

P X ^ A - X ^ B > 4 μ A = μ B = 0,001

Portanto, podemos concluir que se as duas médias populacionais forem iguais, existe apenas 0,1 % de chance de que a diferença das duas médias amostrais seja maior que 4. Logo, podemos finalizar dizendo que os fabricantes da liga B estão errados.

Passo 3

Sim. A diferença nas médias da população não é necessariamente 4 ou superior, mas o experimento realizado mostrou que há uma alta probabilidade de que a liga A seja melhor.

Resposta

a) P X ^ A - X ^ B > 4 μ A = μ B = 0,001

b) Sim.

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