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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 14

Um empreiteiro é solicitado pelo departamento de planejamento de uma cidade a enviar um, dois, três, quatro ou cinco formulários (dependendo da natureza do projeto) quando requer um alvará de construção. Seja Y o número de formulários requeridos do próximo empreiteiro. Sabe-se que a probabilidade de y formulários serem exigidos é proporcional a y, isto é, p(y) ky para y 1,...,5. a. Qual é o valor de k? [Sugestão: 5 y1 p(y) 1.] b. Qual é a probabilidade de no máximo três formulários serem exigidos? c. Qual é a probabilidade de serem requeridos entre dois e quatro formulários (inclusive)? d. Poderia p(y) y2 /50 para y 1,..., 5 ser a fmp de Y?

Passo 1

Dado

p y = k y

Com = 1,2 , 3,4 , 5

  1. Uma distribuição de probabilidade só é válida se a soma das probabilidades para cada possibilidade y for igual a 1.

    2. ∑ y = 1 5 p y = 1

    Reescreva a soma:

    p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1

    Use a expressão p ( y ) = k y para cada probabilidade:

    k + 2 k + 3 k + 4 k + 5 k = 1

    Combine termos semelhantes:

    ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) k = 1

    Simplificar:

    15 k = 1

    Divida cada lado por 15:

    k = 1 15

    Passo 2

  2. Regra de adição para eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos

    3. P A   o u   B = P A + P B

    Adicione as probabilidades correspondentes:

    P X   ≤ 3 = p 1 + p 2 + p 3 = k + 2 k + 3 k = 1 + 2 + 3 k

    = 6 k = 40 %

  3. Regra de adição para eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos

    4. P A   o u   B = P A + P B

    P 2   ≤ X   ≤ 4 = p 2 + p 3 + p 4 = 2 k + 3 k + 4 k = 2 + 3 + 4 k

    = 9 k = 9 15 = 3 5 = 0.6 = 60 %

    Passo 3

  4. Dado

f p y = y 2 50

Uma distribuição de probabilidade só é válida se a soma das probabilidades para cada possibilidade y for igual a 1.

∑ y = 1 5 f p y = 1

f p 1 + f p 2 + f p 3 + f p 4 + f p 5 = 1

Usando a função para cada probabilidade:

1 2 50 + 2 2 50 + 3 2 50 + 4 2 50 + 5 2 50 = 1

Avalie os quadrados:

1 50 + 4 50 + 9 50 + 16 50 + 25 50 = 1

55 50 = 1

A última equação NÃO é válida, pois 55 50 = 1.1 não é igual a 1 e, portanto, a distribuição de probabilidade fornecida NÃO é uma distribuição de probabilidade válida.

Resposta

  1. k = 1 15
  2. P X   ≤     = 2 3 = 0.4 = 40 %
  3. P 2   ≤ X   ≤ 4 = 3 5 = 60 %
  4. N ã o

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