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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 15

Muitos fabricantes possuem programas de controle de qualidade que incluem a inspeção de defeitos no recebimento dos materiais. Suponha que um fabricante de computadores receba placas em lotes de cinco. Duas placas em cada lote são selecionadas para inspeção. Podemos representar os resultados possíveis do processo pela seleção de pares. Por exemplo: o par (1, 2) representa a seleção das placas 1 e 2 para inspeção. a. Relacione os 10 resultados diferentes possíveis. b. Suponha que as placas 1 e 2 sejam as únicas com defeito em um lote de cinco. Duas placas serão escolhidas aleatoriamente. Defina X como o número observado de placas com defeito entre as inspecionadas. Determine a distribuição de probabilidades de X. c. Seja F(x) a FDA de X. Primeiro determine F(0) P(X 0), F(1), e F(2), e depois obtenha F(x) para todos os outros x.

Passo 1

  1. Possíveis saídas são

    2. 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5

    Esses são todos os resultados possíveis - o significado de (⋅,⋅) é dado no exercício.

    Passo 2

  2. Definindo

    3. X = {   n ú m e r o   d e   p l a c a s   d e f e i t u o s a s   o b s e r v a d a s   e n t r e   a s   i n s p e c i o n a d a s   } .

    Os valores da variável aleatória X são 0 (nenhuma das placas 1 ou 2), 1 (1 placa 1 ou 2) e 2 (ambas, placa 1 e placa 2).

    A Função de Massa de Probabilidade (pmf) (Distribuição de Probabilidade) de uma variável aleatória discreta X é

    p x = P X = x = P ω   ϵ   S   : X ω = x

    Para todo número x.

    Nós precisamos encontrar p i ,   i = 1,2 , 3 nós temos p x = 0 para x   ∈ R

    Para i = 0,

    p 0 = P   X = 0 = P 3,4 , 3,5 , 4,5 = 3 10 = 0.3

    Para i = 1

    p 1 = P X = 1 = P 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5 = 6 10 = 0.6

    Para i = 2

    p 2 = P X = 2 = P 1,2 = 1 10 = 0.1

    Passo 3

  3. A Função de Distribuição Cumulativa (cdf) F(x) de uma variável aleatória discreta é

F x = P   X   ≤ x =   ∑ u : u   ≤ x p u

ou todo número x, onde p(x) é a Função de Massa de Probabilidade de X.

Começando com F(0), o seguinte é verdadeiro

F 0 = P   X   ≤ 0 =   ∑ u   : u   ≤ 0 p u = p 0 = 0.3

Para i = 1

F 1 = P   X   ≤ 1 =   ∑ u   : u   ≤ 0 p u = p 0 + p 1 = 0.3 + 0.6 = 0.9

Para i = 2

F 2 = P   X   ≤ 2 =   ∑ u   : u   ≤ 0 p u = p 0 + p 1 + p 2 = 0.3 + 0.6 + 0.1 = 1

O CDF pode ser representado como

F x =   0 ,   x < 0 ; 0.3 ,   0   ≤ x < 1 ; 0.9 ,   1 ≤ x < 2 ; 1 ,   x ≥ 2

Resposta

  1. Ver o desenvolvimento
  2. p 0 = 0.3 ,   p 1 = 0.6 ,   p 2 = 0.1
  3. F x =   0 ,   x < 0 ; 0.3 ,   0   ≤ x < 1 ; 0.9 ,   1 ≤ x < 2 ; 1 ,   x ≥ 2

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