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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 104

Um estado tem uma loteria em que seis números são selecionados aleatoriamente de 40, sem reposição. Um jogador escolhe seis número antes da amostra do estado ser selecionada.

  1. Qual é a probabilidade de que os seis números escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis número na amostra do estado?
  2. Qual é a probabilidade de que cinco números escolhidos pelo jogador apareçam na amostra do estado?
  3. Qual é a probabilidade de que quatro dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam na amostra do estado?
  4. Se um jogador for a uma loteria toda semana, qual é o número esperado de semanas até que o jogador coincida todos os seis números da amostra do estado?

Passo 1

Bom gente, vamos relembrar a fórmula para a função de massa de probabilidade da variável aleatória hipergeométrica X com os seguintes parâmetros:

N = 40

n = 60

K = 6

Nós temos a seguinte expressão:

f ( x ) = C x 6 C 6 - x 34 C 6 40 ,   x = 0,1 , 2 , . . . , 6

Agora calculando usando essa fórmula a gente vai conseguir encontrar as próximas letras a b e c.

Passo 2

Letra a:

P ( X = 6 ) = 2.6 × 1 0 - 7

Passo 3

Letra b:

P ( X = 5 ) = 5.31 × 1 0 - 5

Passo 4

Letra c:

P ( X = 4 ) = 0.00219

Passo 5

Agora na letra D:

Vamos introduzir a variável aleatória Y do número de semanas até o jogador conseguir atingir seis números da loteria. Isso é uma variável aleatória geométrica com o parâmetro p= que, no caso, já foi calculado na letra.

Agora vamos calcular o valor esperado da variável aleatória Y:

E ( Y ) = 1 p = C 6 40 = 3838380

Resposta

  1. P ( X = 6 ) = 2.6 × 1 0 - 7
  2. P ( X = 5 ) = 5.31 × 1 0 - 5
  3. P ( X = 4 ) = 0.00219
  4. E ( Y ) = 3838380
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