Um estado tem uma loteria em que seis números são selecionados aleatoriamente de 40, sem reposição. Um jogador escolhe seis número antes da amostra do estado ser selecionada.

  1. Qual é a probabilidade de que os seis números escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis número na amostra do estado?
  2. Qual é a probabilidade de que cinco números escolhidos pelo jogador apareçam na amostra do estado?
  3. Qual é a probabilidade de que quatro dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam na amostra do estado?
  4. Se um jogador for a uma loteria toda semana, qual é o número esperado de semanas até que o jogador coincida todos os seis números da amostra do estado?

Passo 1

Bom gente, vamos relembrar a fórmula para a função de massa de probabilidade da variável aleatória hipergeométrica X com os seguintes parâmetros:

N = 40

n = 60

K = 6

Nós temos a seguinte expressão:

f ( x ) = C x 6 C 6 - x 34 C 6 40 ,   x = 0,1 , 2 , . . . , 6

Agora calculando usando essa fórmula a gente vai conseguir encontrar as próximas letras a b e c.

Passo 2

Letra a:

P ( X = 6 ) = 2.6 × 1 0 - 7

Passo 3

Letra b:

P ( X = 5 ) = 5.31 × 1 0 - 5

Passo 4

Letra c:

P ( X = 4 ) = 0.00219

Passo 5

Agora na letra D:

Vamos introduzir a variável aleatória Y do número de semanas até o jogador conseguir atingir seis números da loteria. Isso é uma variável aleatória geométrica com o parâmetro p= que, no caso, já foi calculado na letra.

Agora vamos calcular o valor esperado da variável aleatória Y:

E ( Y ) = 1 p = C 6 40 = 3838380

Resposta

  1. P ( X = 6 ) = 2.6 × 1 0 - 7
  2. P ( X = 5 ) = 5.31 × 1 0 - 5
  3. P ( X = 4 ) = 0.00219
  4. E ( Y ) = 3838380
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