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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 14

A percentagem de álcool (100X) em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória, onde X, 0 < X < 1 , tem a seguinte fdp:

f x = 20 x 3 1 - x ,   0 < x < 1

Estabeleça a expressão da fd F e esboce seu gráfico e calcule P X ≤ 2 3 . Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool. Especificamente, se 1 / 3 < X < 2 / 3 , o composto se vende por C1 dólares/galão caso contrário, ele se vende por C2 dólares/galão. Se o custo for C3 dólares/galão, calcule a distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a fdp e a probabilidade desses eventos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

F x = ∫ f s d s

P X ≤ k = F K

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

p x i ≥ 0

P X = x i = k 1 - β x i - 1 ≥ 0

∑ p x i = 1

∑ k 1 - β x i - 1 = 1

Substituindo a relação na probabilidade, temos que:

F x = 20 ∫ s 3 d s - 20   ∫ s 4 d s

F x = 5 x 4 - 4 x 5

F x =   0 ,   x ≤ 0 5 x 4 - 4 x 5 ,   0 < x ≤ 1 1 , x > 1

P X ≤ 2 3 = F 2 3

P X ≤ 2 3 = 0,461

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

L =   C 1 - C 3 , 1 3 < X < 2 3 C 2 - C 3 ,   c c

P L = C 1 - C 3 = ∫ ( 20 x 3 - 20 x 4 ) d x

P L = C 1 - C 3 = 0,416

P L = C 2 - C 3 = 1 - P L = C 1 - C 3

P L = C 2 - C 3 = 0,584

Resposta

F x =   0 ,   x ≤ 0 5 x 4 - 4 x 5 ,   0 < x ≤ 1 1 , x > 1

P X ≤ 2 3 = 0,461

P L = C 1 - C 3 = 0,416

P L = C 2 - C 3 = 0,584

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