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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 53

.Um fabricante de dispositivos semicondutores retira uma amostra alcatonia de 100 chips c os testa.classificando cada chip de deteituoso ou nao-defeituoso.SejaX0.se ochip tor nao-deleituosoeX se o chip for defeituoso.A fracao da amostra com defeitose

Qual e a distribuicao amostral da variavel aleatoria P

Passo 1

Temos o seguinte:

Uma amostra aleatória de 100 chips.

Cada chip pode ser classificado como defeituoso ou não defeituoso.

Seja X i = 0 o chip sem defeito

E X i = 1 o chip com defeito.

Ambos os eventos são mutuamente exclusivos.

Portanto,   P X i = 0 = 1 2  and  P X i = 1 = 1 2

A fração da amostra com defeito é

P ^ = X 1 + X 2 + ⋯ + X 100 100

Vamos encontrar a distribuição amostral da variável aleatória P ^ .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar E X i , E X i 2   e   V X i

E X i = ∑ x = 0,1   X i P X i = x = 0 ⋅ P X i = 0 + 1 ⋅ P X i = 1 = 0 ⋅ 1 2 + 1 ⋅ 1 2 = 1 2

E X i 2 = ∑ x = 0,1   X i 2 P X i = x = 0 2 ⋅ P X i = 0 + 1 2 ⋅ P X i = 1 = 0 ⋅ 1 2 + 1 2 ⋅ 1 2 = 1 2

V X i = E X i 2 - E X i 2 = 1 2 - 1 2 2 = 1 2 - 1 4 = 1 4

Passo 3

Agora podemos encontrar a média e o desvio padrão da distribuição amostral:

μ ^ p ˙ = E ( P ^ ) = E X 1 + X 2 + … + X 100 100 = 1 100 E ∑ i = 1 100   X i = 1 100 ∑ i = 1 100   E X i = 1 100 ∑ i = 1 100   1 2 = 1 100 ⋅ 100 2 = 0.5

σ ^ p ˙ = V P ^ = V X 1 + X 2 + … + X 100 100 = 1 ( 100 ) 2 V X 1 + X 2 + … + X 100 = 1 100 V ∑ i = 1 100   X i = 1 100 ∑ i = 1 100   V X i = 1 100 ∑ i = 1 100   1 4 = 1 100 100 4 = 1 100 ⋅ 10 2 = 0.05

A distribuição amostral da variável aleatória P ^   tem média de 0.5 e desvio padrão de 0.05 .

Resposta

A distribuição amostral da variável aleatória P ^   tem média de 0.5 e desvio padrão de 0.05 .

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