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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 99

8-99.Estudantes do laboratonio de estatistica industrial em ASUcal-

culam varios intervalos de confianca para u.Suponha que todos esses

ICs sejam independentes entre si.Considere os proximos mil inter-

valos de confianca de 95%que serao caleulados.Quantos desses ICs

voce espera que contenham o valor verdadeiro de u?Qual e a pro-

babilidade de que entre 930e 970 desses intervalos contenham o valor

verdadeiro de u?

Passo 1

Oi galera, vamos a mais uma resolução passo a passo pra vocês!

Os alunos calculam os intervalos de confiança em μ . Suponha que todos esses ICs sejam independentes uns dos outros. Considere os próximos mil intervalos de confiança de 95% que serão calculados.

Seja X o número de ICs que contêm o valor verdadeiro de μ . Todos os intervalos são independentes, então, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 1000 e p = 0.95 .

A média para a variável aleatória X é

E X = n p = 950

Portanto, 950 IC’s tem o verdadeira valor de μ . O desvio padrão para a variável aleatória X é:

σ = n p ( p - 1 ) = 6.892

Passo 2

Precisamos calcular

P ( 930 ≤ X ≤ 970 ) = P 930 - μ σ ≤ X - μ σ ≤ 970 - μ σ = ( 1 ) 1 - P Z < 930 - μ σ - P Z > 970 - μ σ

(1): O complemento do evento 930 - μ σ ≤ Z ≤ 970 - μ σ é Z < 930 - μ σ ∪ Z > 970 - μ σ e Z = X - μ σ . Então,

P ( 930 ≤ X ≤ 970 ) = 1 - P Z < 930 - 950 6.892 - P Z > 970 - 950 6.892 = 1 - P ( Z < - 2.901 ) - P ( Z > 2.901 ) = ( 2 ) 1 - 2 P ( Z > 2.901 )

(2): A densidade da distribuição normal é uma função simétrica.

Portanto, a probabilidade de que entre 930 e 970 desses intervalos contenha o verdadeiro valor de μ   é

P ( 930 ≤ X ≤ 970 ) = ( 3 ) 1 - 2 Φ ( 2.901 ) = ( 4 ) 1 - 2 × 0.001807 = 0.996386

(3): A variável aleatória Z = X - μ σ tem distribuição normal padrão ( n = 1000 > 40 ) .

(4): Da Tabela III do Apêndice.

Resposta

Ver resolução

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