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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 30

Medições de sistemas científicos são sempre sujeitas à variação, algumas mais do que outras. Há muitas estruturas para se medir erros, e os estatísticos passam boa parte do tempo modelando esses erros. Suponha que o erro de medição X”, de certa quantidade física, seja

determinado pela função de densidade

f x = k 3 - x 2 ,                                         - 1 ≤ x ≤ 1 0 ,                                                                 c a s o   c o n t r á r i o

(a) Calcule o valor k que torna f ( x )   uma função de densidade válida.

(b) Determine a probabilidade de que um erro aleatório na medição seja menor que 1/2.

(c) Para essa medição em particular, não é desejável que a magnitude do erro (isto é, x ) exceda 0,8. Qual é a probabilidade de que isso ocorra?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para que a função de densidade seja válida, ela deve respeitar a seguinte relação:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Usando a definição do Passo 1 para calcular k :

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

∫ - 1 1 k ( 3 - x 2 ) d x = 1

k 3 x - 1 3 x 3 = 1

k 3 - 1 3 - - 3 + - 1 3 = 1

k = 3 16

Passo 3

O enunciado nos pede a probabilidade de que um erro aleatório na medição seja menor que 1 / 2 . Logo, queremos achar P ( X < 1 / 2 ) .

P X < 1 2 = P - 1 ≤ X ≤ 1 2

= ∫ - 1 1 / 2 3 16 ( 3 - x 2 ) d x

= 3 16 3 x - 1 3 x 3 - 1 1 / 2

= 3 16 3 2 - 1 3 1 2 3 - - 3 + 1 3 - 1 3

= 3 16 33 8

P X < 1 2 = 99 128

Passo 4

Por fim, queremos a probabilidade P X > 0,8 .

Usando a definição de complemento.

P X > 0,8 = 1 - P ( X ≤ 0,8 )

= 1 - P - 0,8 ≤ X ≤ 0,8

= 1 - ∫ - 0,8 0,8 3 16 ( 3 - x 2 ) d x

= 1 - 2 ∫ 0 0,8 3 16 ( 3 - x 2 ) d x

= 1 - 3 8 3 x - 1 3 x 3 0 0,8

= 1 - 3 8 3 0,8 - 1 3 0,8 3 - 0

= 1 - 209 250

P X > 0,8 = 41 250

Resposta

(a) k = 3 / 16

(b) 99 / 128

(c) 41 / 250

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