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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 14

Mostre que:

( a ) sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(x)) = 0

( b ) sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(x))^2 = sum_(i = 1)^n x_i^2 - n overset(-)(x)^2 = sum_(i = 1)^n x_i^2 - ((sum x)^2)/(n)

( c ) sum_(i = 1)^n n_i (x_i - overset(-)(x))^2 = sum_(i = 1)^n n_i x_i^2 - n overset(-)(x)^2

( d ) sum_(i = 1)^n f_i (x_i - overset(-)(x))^2 = sum_(i = 1)^n f_i x_i^2 - overset(-)(x)^2

Passo 1

Bom galera, vamos começar testando se:

( a )

sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(x)) = 0

= sum_(i = 1)^n x_i - sum_(i = 1)^n overset(-)(x)

= n overset(-)(x) - n overset(-)(x) = 0

Passo 2

Belezinha, agora testamos:

( b )

sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(x))^2 = sum_(i = 1)^n ( x_i^2 - 2 x_i overset(-)(x) + overset(-)(x)^2 )

= sum_(i = 1)^n x_i^2 - 2 overset(-)(x) sum_(i = 1)^n x_i + sum_(i = 1)^n (overset(-)(x))^2

= sum_(i = 1)^n x_i^2 - 2 n (overset(-)(x))^2 + n (overset(-)(x))^2

= sum_(i = 1)^n x_i^2 - ((sum_(i = 1)^n x_i)^2)/(n)

E também:

( c )

sum_(i = 1)^n n_i (x_i - overset(-)(x))^2 = sum_(i = 1)^n n_i ( x_i^2 - 2 x_i overset(-)(x) + overset(-)(x)^2 )

= sum_(i = 1)^n n_i x_i^2 - 2 overset(-)(x) sum_(i = 1)^n n_i x_i + sum_(i = 1)^n n_i (overset(-)(x))^2

= sum_(i = 1)^n n_i x_i^2 - n (overset(-)(x))^2

Passo 3

Por fim, basta nós testarmos a última:

( d )

sum_(i = 1)^n f_i (x_i - overset(-)(x))^2 = sum_(i = 1)^n f_i (x_i^2 - 2 x_i overset(-)(x) + overset(-)(x)^2)

= sum_(i = 1)^n f_i x_i^2 - 2 x sum_(i = 1)^n f_i x_i + sum_(i = 1)^n f_i (overset(-)(x))^2

= sum_(i = 1)^n f_i x_i^2 - (overset(-)(x))^2

Prontinho, provamos cada um dos termos, viu como é mais fácil do que parece? 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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