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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 28

Uma amostra de 100 trabalhadores de uma fábrica grande demora, em média,

12 minutos para completar uma tarefa, com um desvio padrão de dois minutos. Uma

amostra de 50 trabalhadores de uma outra fábrica demora, em média, 11 minutos para

completar a mesma tarefa, com desvio padrão igual a três minutos.

  1. Construa um IC de 95% para a diferença entre as duas médias populacionais.

  2. Deixe bem claro quais as suposições feitas para a solução apresentada.

Passo 1

  Definindo a variável X =   t e m p o   p a r a   c o m p l e t a r   u m a   t a r e f a   e m   m i n u t o s

Considerando que as populações das duas fábricas seguem uma distribuição normal e são independentes α = 5 % .

Do enunciado, temos:

N A = 100   t r a b a l h a d o r e s

N B = 50   t r a b a l h a d o r e s

X - A = 12 min ⁡   e     S A 2 = 4 m i n

X - B = 11 min ⁡   e     S B 2 = 9 m i n

Primeiramente vamos fazer o teste para a diferença entre as variâncias, aproximando por:

F = S A 2 σ A 2 S B 2 σ B 2   ~ f n A - 1 ; n B - 1 D i s t r i b u i ç ã o   f   d e   S n e d e c o r ,   c o m   n - 1 n u m e r a d o r   e   m - 1 d e n o m i n a d o r g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Passo 2

Teste de hipótese: H 0 :   σ A 2 - σ B 2 = 0     e     H 1 :   σ A 2 - σ B 2 ≠ 0

Vamos construir nossa região crítica: R C = { f 0 ∈ R | f 0 < f 1 - α 2 ; n A - 1 ; n B - 1   o u   f 0 > f α 2 ; n A - 1 ; n B - 1 }

Com, f 0,025 ; 99 ; 49 = 1,69     e     f 0,975 ; 99 ; 49 = 1 f 0,025 ; 49 ; 99 = 1 1,64 = 0,611

Lembrando que a tabela de F de Snedecor só nos fornece um valor unilateral superior, ou seja, quando queremos encontrar o limite inferior, devemos inverter os graus de liberdade do numerador e denominador e tomar o inverso do valor encontrado na tabela.

Portanto nossa região critica assume a seguinte forma:

R C = f 0 < 0,611   o u   f 0 > 1,69

Teste sob H 0 :

f 0 = S A 2 σ A 2 S B 2 σ B 2 = 4 9 = 0,444

Logo, como f 0 = 0,44 ∈ R C , devemos rejeitar a hipótese nula, e existem evidencias de que a variância é diferente para a produtividade nas duas fábricas.

Passo 3

  1. Para realizar o teste para a diferença entre as médias, devemos considerar duas populações com variância desconhecida e diferentes, usando a seguinte aproximação:

    2. T * = X - A - X - B - μ A - μ B S A 2 n A + S B 2 n B ~ t v

    (Distribuição t-student com v graus de liberdade)

    Onde:

    v = S A 2 n A + S B 2 n B 2 S A 2 n A 2 n A - 1 + S B 2 n B 2 n B - 1 =71,45

    Lembrando que se ν não for um número inteiro,podemos arredondar para o menor inteiro mais próximo.

    Construindo nosso intervalo de confiança:

    I C μ A - μ b ; 95 % = X - A - X - B ± t 0,025 ; 71   .   S A 2 n A + S B 2 n B = 1 ± 1,997   .   0,47 = ( 0,06   ; 1,94 )

    Resposta

    Como o zero não pertence ao intervalo de confiança, podemos rejeitar a hipótese nula pois μ A - μ B > 0 →   μ A > μ B

  2. Para a resolução foram consideradas duas populações normalmente distribuídas e independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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