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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 15

O número de anos que uma máquina de lavar funciona é uma variável aleatória cuja função taxa de risco é dada por

λ t = 0,2                                                               0 < t < 2 0,2 + 0,3 ( t - 2 )             0 < t < 2 1,1                                                               0 < t < 2

(a) Qual é a probabilidade de que a máquina continue a funcionar por 6 anos após a sua compra?

(b) Se ela ainda estiver funcionando 6 anos após a sua compra, qual é a probabilidade condicional de que ela estrague nos próximos 2 anos.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Seja X denota o número de anos de trabalho da máquina. A probabilidade de que a máquina ainda esteja funcionando 6 anos após a compra é:

P X > 6 = e x p - ∫ 0 6 λ t d t

P X > 6 = e x p - ∫ 0 2 λ t d t + ∫ 2 5 λ t d t + ∫ 5 6 λ t d t

P X > 6 = e x p - ∫ 0 2 ( 0,2 ) d t + ∫ 2 5 0,2 + 0,3 ( t - 2 ) d t + ∫ 5 6 1,1 d t

Calculando as integrais:

P X > 6 = e - 3,45

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b).

Vamos considerar que:

P X > 8 = e x p - ∫ 0 8 λ t d t

P X > 8 = e x p - ∫ 0 2 λ t d t + ∫ 2 5 λ t d t + ∫ 5 8 λ t d t

P X > 8 = e x p - ∫ 0 2 ( 0,2 ) d t + ∫ 2 5 0,2 + 0,3 ( t - 2 ) d t + ∫ 5 8 1,1 d t

Calculando as integrais:

P X > 8 = e - 5,65

Resposta

a )   P X > 6 = e - 3,45

b )   P X > 8 = e - 5,65

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