Exercícios de Introdução à Variável Aleatória Contínua - Lista de Exercícios Resolvida

Dada a função

a) Mostre que esta é uma f.d.p.

b) Calcule a probabilidade de .

Classifique as variáveis abaixo como discretas ou contínuas:

1. Altura de alunos de uma universidade
2. Tempo de espera numa fila
3. Número de idas ao cinema por ano
4. Quantidade de refrigerante nas latinhas
5. Quantidade de copas sorteadas num baralho

Uma v.a. X tem a distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua f.d.p. for dada por

a) Qual valor deve ter a constante C?

b) Faça o gráfico de f(x)

c) Determine

O tempo de espera (em minutos) para ser atendido em um sistema de conversa on-line de uma empresa comporta-se de acordo com a seguinte função de densidade

.

1. Determine o valor de .
2. Calcule a probabilidade de um cliente esperar pelo menos 5 minutos dado que já esperou pelo menos 2 minutos.
3. O administrador do sistema afirmou que 96% dos usuários esperam no máximo 5 minutos para serem atendidos. Você concorda com o administrador? Justifique a sua resposta.

O tempo de espera (em minutos) para ser atendido em um sistema de conversa on-line de uma empresa comporta-se de acordo com a seguinte função de densidade

.

1. Determine o valor de .
2. Calcule a probabilidade de um cliente esperar pelo menos 5 minutos dado que já esperou pelo menos 2 minutos.
3. O administrador do sistema afirmou que 96% dos usuários esperam no máximo 5 minutos para serem atendidos. Você concorda com o administrador? Justifique a sua resposta.

c) Quais as propriedades que a função de densidade de uma v.a. Normal deve ter?

c) Seja “” uma v.a. contínua. Defina o que é a sua função de distribuição de probabilidade acumulada, , e enumere as suas propriedades.

Seja uma variável aleatória contínua com densidade:

Qual é o valor de que faz uma função de densidade.

O tempo em horas que um certo componente funciona pode ser representado por uma variável aleatória contínua , cuja função densidade de probabilidade é:

1. Calcular o valor de .
2. Qual a probabilidade que um destes componentes tenha que ser substituído após horas de operação?

A trava se segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com frequência, de modo a evitar a quebra devido ao desgaste. Estudos anteriores admitem que a vida útil dessa trava pode ser representada por uma variável aleatória contínua, assumindo valores entre 0 e 1 ano, com função de densidade de probabilidade dada por:

(a) Calcule a probabilidade da vida útil ser superior a seis meses.

Seja um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função conjunta:

a) Calcule o valor da constante para que seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias e . Apresente a função conjunta.

b) Encontre a densidade marginal de e de .

c) Encontre a densidade condicional de dado que

d) Determine se e são Independentes.

Uma companhia telefônica cobra para chamadas telefônicas uma taxa inicial de reais mais por minuto, enquanto uma companhia telefônica cobra apenas para cada minuto elevado ao quadrado. Assim as receitas, por chamada são e , onde é a duração da chamada, em minutos. Por qualquer fração de minuto no final de uma chamada, ambas as companhias cobram por um minuto inteiro. Suponha que o tempo de duração de uma chamada em minutos siga um modelo exponencial com média igual a se a ligação é feita usando a companhia e um modelo exponencial com média igual a se a ligação é feita usando a companhia .

1. Qual deveria ser o valor de para que a receita média por chamada da companhia seja igual a receita média por chamada da companhia ?
2. No ultimo mês a companhia resolveu implantar uma nova estratégia para calcular a taxa inicial : para ligações de até minutos de duração adota-se uma taxa inicial de e para ligações com mais de minutos adota-se uma taxa de . Indique em qual faixa de valores deve estar o para que o valor esperado de seja maior que .
3. Um cliente tem dois telefones, um associado a companhia e outro a companhia . Para fazer uma ligação o cliente escolhe o telefone da companhia com de probabilidade e escolhe o da companhia com de probabilidade. Calcule a probabilidade deste cliente permanecer um tempo superior a 3 minutos numa ligação.

Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade:

Pede-se:

1. Qual o valor do parâmentro para que seja uma função de densidade de probabilidade. Apresente a função de densidade de probabilidade e seu domínio.
2. Encontre a Probabilidade de

c) Seja X uma v.a. discreta e f(x) a sua função de probabilidade: Quem seria a probabilidade da variável aleatória “X” ser igual a “x*”, onde x* é um possível valor que X pode assumir. E se X for uma v.a. contínua e f(x) a sua função de densidade. Quem seria a probabilidade de X de ser igual a “x*”.

Uma variável contínua com densidade para .

Calcule .

Se , calcule a média e a variância da variável aleatória em função da variável aleatória , demonstrando todos os passos através da variável aleatória contínua.

Seja uma v.a. contínua. Apresente as propriedades necessárias para que uma função seja uma função de densidade de probabilidade e a relação que esta deve ter com a função de distribuição acumulada .