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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 56

O número de multas por estacionamento irregular emitidas em uma determinada cidade em um dia de semana qualquer possui distribuição de Poisson com parâmetro λ = 50 . Qual é a probabilidade aproximada de

a. entre 35 e 70 multas serem dadas em um dia específico? (Sugestão: quando λ é grande, uma va de Poisson possui aproximadamente distribuição normal.)

b. o número total de multas dadas durante os cinco dias da semana estar entre 225 e 275?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Antes de tudo, precisamos saber que para uma variável aleatória X com distribuição de Poison com o parâmetro μ > 0 , a seguinte relação é verdadeira:

E X = V X = μ

E a distribuição tem média e variância iguais a 50. Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Para calcularmos a probabilidade entre dois valores, podemos usar a variável aleatória Z da seguinte maneira:

P ( 35 < X < 70 ) ≈ P 35 - 0,5 - E X σ X < X - E X σ X < 70 - 0,5 - E X σ X

= P 34,5 - 50 50 < Z < 70,5 - 50 50

= P ( - 2,19 < Z < 2,90 )

= P Z < 2,90 - P ( Z < - 2,19 )

= Φ 2,90 - Φ ( - 2,19 )

= 0,9981 - 0,0143

= 0,98

Lembrando que Z tem distribuição normal padrão, com média 0 e desvio padrão 1, pelo teorema do limite central.

Passo 3

O que queremos saber é o número de multas entre os dias 225 e 275 e calculamos da seguinte forma:

P ( 225 < X < 275 ) ≈ P 225 - 0,5 - E X σ X < X - E X σ X < 275 - 0,5 - E X σ X

= P 224,5 - 250 250 < X < 275,5 - 250 250

= P - 1,61 < Z < 1,61

= P Z < - 1,61 - P Z < 1,61

= Φ - 1,61 - Φ 1,61

= 0,9463 - 0,0537

= 0,89

Resposta

  1. P ( 35 < X < 70 ) ≈ 0,98            

  2. P ( 225 < X < 275 ) ≈ 0,89

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