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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 58

Uma empresa de remessa trabalha com contêineres de três tamanhos diferentes: (1) 27 pé3 ( 3 × 3 × 3 ) , (2) 125 pés e (3) 512 pés. Seja X i ( i = 1 ,   2 ,   3 )   o número de contêineres de tipo i enviados durante uma determinada semana. Com μ i = E ( X i ) e σ i 2 = V ( X i ) , suponha que os valores médios e os desvios padrão sejam como segue:

μ 1 = 200                               μ 2 = 250                               μ 3 = 100

σ 1 = 10                               σ 2 = 12                               σ 3 = 8

a. Assumindo que X 1 , X 2 , X 3 sejam independentes, calcule o valor esperado e a variância do volume total enviado. [Sugestão: volume = 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3 .]

b. Seus cálculos estariam necessariamente corretos se os X i s não fossem independentes? Explique.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos este exercício, vamos usar a fórmula de sugestão dada pelo enunciado:

V o = 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3

Todos os cálculos dependerão dessa fórmula, então, bora lá que vou deixando tudo explícito!!!

Passo 2

O valor esperado para o volume é:

E V o = E ( 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3 )

= 27 E X 1 + 125 E X 2 + 512 E ( X 3 )

= 27 . 200 + 125 . 250 + 512 . ( 100 )

E V o = 87.850

E a variância total do volume é calculada da seguinte forma:

V V o = V 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3

= 27 2 V X 1 + 125 2 V X 2 + 512 2 V X 3

= 27 2 . 10 2 + 125 2 . 12 2 + 512 2 . 8 2

V V o = 19.100.116

Passo 3

Não estariam necessariamente corretos. Pois, a igualdade abaixo, não seria respeitada, por não ser verdade quando as variáveis aleatórias não são independetes:

V 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3 = 27 2 V X 1 + 125 2 V X 2 + 512 2 V X 3

Resposta

  1.   E V o = 87.850 V V o = 19.100.116  

  2. Resolução no passo 3.

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