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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 92

A permeabilidade de uma membrana, usada como uma barreira de umidade em uma aplicação biológica, depende da espessura de três camadas integradas. As camadas 1,2 e três são normalmente distribuídas comédias de 0.5,1 1,5 mm. Respectivamente. Os desvios padrão das pessoas das camadas são 0.1,0. 20.3 mm respectivamente. Além disso a cor da correção entre as camadas um e dois é 0.7, em três camadas dois e 30.5 e das camadas é 0.3.

  1. determine a média e a varianncia da expedidas total das três camadas
  2. Qual é a probabilidade de a espessura total ser menor do que 1.5 milímetro?

Passo 1

Sejam as variáveis ​​aleatórias X 1 ,   X 2 e X 3 representam as três camadas de uma membrana que são normalmente distribuídos.

X 1 ∼ N ( 0.5,0 . 1 2 )

X 2 ∼ N ( 1,0 . 2 2 )

X 3 ∼ N ( 1.5,0 . 3 2 )

A correlação entre eles é

ρ 12 = 0.7

ρ 23 = 0.5

ρ 31 = 0.3

A espessura total de três camadas é Y = X 1 + X 2 + X 3

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a média e a variância da espessura total das três camadas.

A média é:

E ( Y ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + E ( X 3 ) = 3

Para calcular a variância, primeiro temos que encontrar c o v ( X 1 , X 2 ) ,   c o v ( X 2 , X 3 ) e c o v ( X 3 , X 1 )

c o v ( X 1 , X 2 ) = ρ X 1 ,   X 2 V ( X 1 ) V ( X 2 ) = 0.014

c o v ( X 2 , X 3 ) = ρ X 2 ,   X 3 V ( X 2 ) V ( X 3 ) = 0.03

c o v ( X 1 , X 3 ) = ρ X 1 ,   X 3 V ( X 1 ) V ( X 3 ) = 0.009

A variância de Y é:

V ( Y ) = V ( X 1 ) + V ( X 2 ) + V ( X 3 ) + 2 [ c o v ( X 1 , X 2 ) + c o v ( X 2 , X 3 ) + c o v ( X 3 , X 1 ) ] = 0.246

Passo 3

Letra b:

Vamos calcular a probabilidade de que a espessura total seja inferior a 1.5 milímetros.

A soma das variáveis ​​normais dependentes pode não ser normal, mas nós vamos supor que Y seja normal.

P ( Y < 1.5 ) = P Y - μ σ < 1.5 - 3 0.246 = 0.0013

Resposta

  1. E ( Y ) = 3 e V ( Y ) = 0.246
  2. 0.0013
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