Considere uma mostra e que tenhamos calculado para amostra. Agora, uma N +1/10 ésima observação se torna disponível. Seja e a média variância da amostra respectivamente, usando todas as animais observações.

  1. mostre como Xn+1 pode ser calculado, usando
  2. Mostre que
  3. Use os resultados dos itens a e b para calcular uma nova medida e desvio padrão da amostra para os dados do Exercício 6-22, quando a nova observação for x38=64

Passo 1

Letra a:

Uma boa abordagem é começar pela definição. Portanto

x ̄ n + 1 = 1 n + 1 ∑ i = 1 n + 1 x i

que é obviamente calculado de x n e x n + 1 como

x ̄ n + 1 = 1 n + 1 ( n x ̄ n + x n + 1 )

porque,

n x ̄ n = ∑ i = 1 n x i

Passo 2

Letra b:

Uma vez que se sabe o que precisa ser provado, através de todas as etapas deve-se

sempre ter isso em mente. Começando com o seguinte:

s 2 n + 1 = 1 n ∑ i = 1 n + 1 x 2 i - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 n + 1

e

n s 2 n + 1 = ∑ i = 1 n + 1 x i 2 - ( ∑ i = 1 n + 1 x i ) 2 n + 1

No resultado, observe que temos que usar apenas s 2 n ,   x n + 1 e x ̄ n , portanto, nós separamos as somas e temos:

n s 2 n + 1 = ∑ i = 1 n + 1 x i 2 - ( ∑ i = 1 n + 1 x i ) 2 n + 1

= ∑ i = 1 n + 1 x i 2 - 1 n + 1 ( ∑ i = 1 n x i ) 2 - 2 1 n + 1 n x ̄ n × x n + 1 - 1 n + 1 x 2 n + 1

Existem duas maneiras de continuar, podemos tanto começar por trás (do resultado que temos) e chegar a este ponto, ou continuar. Nós vamos continuar. Então:

s 2 n = 1 n - 1 ( ∑ i = 1 n x i - 1 n ( ∑ i = 1 n x i ) 2 )

nós temos que

( n - 1 ) s 2 n = ∑ i = 1 n x i - 1 n ( ∑ i = 1 n x i ) 2

que queremos criar para terminar nossa equação. Então:

n s 2 n + 1 = ∑ i = 1 n x i 2 + x 2 x + 1 - 1 n + 1 x 2 n + 1 - 1 n + 1 ( ∑ i = 1 n x i ) 2 - 2 n n + 1 x ̄ n × x n + 1

= ( n - 1 ) s n + n n + 1 ( x n + 1 - x ̄ n ) 2

Passo 3

Letra c:

Do exercício 6-38, a partir dos dados e informações fornecidos, o número da média da amostra e o desvio padrão da amostra são

n = 37

x ̄ n = 65.162

s n = 2.5442

Para nosso x 38 = 64 , temos a média da amostra

x ̄ 38 = 1 38 ( 37 × 65.162 + 64 ) = 65.1314

e o desvio padrão da amostra

37 × s 2 38 = 36 × ( 2.5442 ) 2 + 37 38 ( 64 - 65.162 ) 2

que é igual a

s 38 = 2.52

Resposta

  1. x ̄ n + 1 = 1 n + 1 ( n x ̄ n + x n + 1 )
  2. = ( n - 1 ) s n + n n + 1 ( x n + 1 - x ̄ n ) 2
  3. s 38 = 2.52
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