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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 19

Uma pesquisadora deseja estimar a proporção de alunos que violaram o código de honra em certa universidade. Ao obter uma amostra aleatória de n alunos, ela percebe que perguntar a cada um: "Você violou o código de honra?" Provavelmente resultará em algumas respostas falsas. Considere o seguinte esquema, chamado de técnica de resposta aleatória. A pesquisadora monta um baralho de 100 cartas, das quais 50 são do tipo I e 50 do tipo II.

Tipo I: Você violou o código de honra (sim ou não)?

Tipo II: O último dígito de seu número de telefone é 0,1 ou 2 (sim ou não)?

Cada aluno da amostra aleatória é solicitado a misturar o baralho, tirar uma carta e responder à pergunta resultante com sinceridade. Devido à pergunta irrelevante nas cartas do tipo II, a resposta sim não estigmatiza mais o entrevistado, de modo que assumimos que as respostas sejam verdadeiras. Seja p a proporção dos violadores do código de honra (isto é, a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ser um violador) e por λ = P (resposta sim). Então, λ e p são relalador) e por λ = P (resposta sim). Então, λ e p são relacionados por 1 λ = 0,5 p + ( 0,5 ) ( 0,3 ) .

a. Seja Y o número de respostas afirmativas, de modo que Y ∼ B i n ⁡ ( n , λ ) . Dessa forma, Y / n é um estimador não-tendencioso de λ . Deduza um estimador para p com base em Y . Se n = 80 e y = 20 Qual é sua estimativa? (Sugestão: resolva λ = 0,5 p + 0,15 para p e então substitua Y / n por λ .)

b. Use o fato de E ( Y / n ) = λ para mostrar que seu estimador p ˆ é não-tendencioso.

c. Se havia 70 cartas tipo I e 30 tipo II, qual seria seu estimador para p ?

Passo 1

Seja Y o número de respostas afirmativas, de modo que Y ∼ B i n ⁡ ( n , λ ) . Dessa forma, Y / n é um estimador não-tendencioso de λ . Deduza um estimador para p com base em Y . Se n = 80 e y = 20 Qual é sua estimativa? (Sugestão: resolva λ = 0,5 p + 0,15 para p e então substitua Y / n por λ .)

a .   λ = . 5 p + . 15 ⇒ 2 λ = p + . 3 ,   s ó   p = 2 λ - . 3   e   p ^ = 2 λ ^ - . 3 = 2 Y n - . 3 ; a estimativa é 2 20 80 - . 3 = . 2

Passo 2

se o fato de E ( Y / n ) = λ para mostrar que seu estimador p ˆ é não-tendencioso.

b .   E ( p ^ ) = E ( 2 λ ^ - . 3 ) = 2 E ( λ ^ ) - . 3 = 2 λ - . 3 = p ,   c o m o   d e s e j a d o

Passo 3

Se havia 70 cartas tipo I e 30 tipo II, qual seria seu estimador para p ?

c. Em que λ = . 7   p + ( . 3 ) ( . 3 ) ,   s o   p = 10 7 λ - 9 70   a n d   p ^ = 10 7 Y n - 9 70 .

Resposta

a . . 2

b. p ,   c o m o   d e s e j a d o

c. - 9 70 .

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