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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 15

Seja X 1 , X 2 , … , X n uma amostra aleatória de uma distribuição de Rayleigh com fdp

f ( x ; θ ) = x θ e - x 2 ( 2 θ )   x > 0

a. Pode-se mostrar que E X 2 = 2 θ . Use esse fato para construir um estimador não-tendencioso de θ com base em ∑ X i 2 (use regras de valor esperado para mostrar que é não-tendencioso)

b. Calcule θ a partir das n = 10 observações a seguir sobre a força vibratória de uma palheta de turbina sob condições especificadas:

16,88   10,23   4,59   6,66   13,68   14,23   19,87   9,40   6,51   10,95  

Passo 1

Pode-se mostrar que E X 2 = 2 θ . Use esse fato para construir um estimador não-tendencioso de θ com base em ∑ X i 2 (use regras de valor esperado para mostrar que é não-tendencioso).

a. E X 2 = 2 θ implica que E X 2 2 = θ . Considere θ ˆ = ∑ X i 2 2 n . Por isso E ( θ ˆ ) = E ∑ X i 2 2 n = ∑ E X i 2 2 n = ∑ 2 θ 2 n = 2 n θ 2 n = θ , implicando que θ é um estimador imparcial para θ.

Passo 2

Calcule θ a partir das n = 10 observações a seguir sobre a força vibratória de uma palheta de turbina sob condições especificadas:

b .   ∑ x i 2 = 1490.1058 ,   s o   θ ^ = 1490.1058 20 = 74.505

Resposta

a . é um estimador imparcial para θ.

b. 74.505

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