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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 9

A proporção de pessoas que respondem a certa solicitação de vendas por catálogo é a variável aleatória contínua X , que tem como função de densidade

f x = 2 ( x + 2 ) 5 ,           0 < x < 1 0 ,                     c a s o   c o n t r á r i o

(a) Mostre que P ( 0 < X < 1 ) = 1 .

(b) Determine a probabilidade de que mais de 1/4 e menos do que 1/2 das pessoas contatadas responderão a esse tipo de solicitação.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A probabilidade que queremos encontrar é que a proporção de pessoas que respondem a solicitação de vendas por catálogo seja entre 0 e 1 . Então, a probabilidade é:

P 0 < X < 1 = ∫ 0 1 f ( x ) d x

= ∫ 0 1 2 ( x + 2 ) 5 d x

= 2 5 ∫ 0 1 ( x + 2 ) d x

= 2 5 x 2 2 + 2 x 0 1

= 2 5 1 2 + 2 - 0

P 0 < X < 1 = 1

Sendo assim, a probabilidade é 1 , o que era de se esperar, pois, estamos falando de proporção e consideramos o intervalo entre ninguém responder e todos responderem.

Passo 3

Agora, estamos atrás da probabilidade de que mais de 1/4 e menos do que 1/2 das pessoas contatadas responderão a esse tipo de solicitação. Então, queremos P ( 1 / 4 < X < 1 / 2 ) :

  P 1 4 < X < 1 2 = ∫ 1 / 4 1 / 2 f ( x ) d x

= ∫ 1 / 4 1 / 2 2 x + 2 5 d x

= 2 5 ∫ 1 / 4 1 / 2 ( x + 2 ) d x

= 2 5 x 2 2 + 2 x 1 / 4 1 / 2

= 2 5 1 / 2 2 2 + 2 1 2 - 1 / 4 2 2 + 2 1 4

= 2 5 19 32

  P 1 4 < X < 1 2 = 0,2375

Logo, a probabilidade de que mais de 25% e menos de 50% das solicitações sejam respondidas é 0,2375 .

Resposta

a) 1

b) 0 , 2375

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