Reconsidere o IC (7.10) para e enfoque um nível de confiança de . Mostre que os limites de confiança estão de acordo com os do intervalo tradicional (7.11), uma vez que dois sucessos e duas falhas foram adicionados à amostra [isto é, (7.11) com base em S's em tentativas]. (Sugestāo: 2. Nota: Agresti e Coull mostraram que esse ajuste do intervalo tradicional também possui nível de confiança real próximo ao nível nominal.)

Observe que o ponto médio do novo intervalo é is que é aproximadamente com um nível de confiança de 95% e aproximando 1,96≈2. A variância dessa quantidade é ou aproximadamente . Agora substituindo p por temos Para maior clareza, seja e ,, então e a fórmula reduz para ,), a conclusão desejada. Para maiores discussões, veja o artigo do Agresti.