Seja X 1 , … , X n a amostra aleatória de uma distribuição gama com parâmetros α e β .

a. Encontre as equações cuja solução produz os estimadores de máxima verossimilhança de α e β . Você acha que eles podem ser resolvidos explicitamente?

b. Mostre que a emv de μ = α β é μ ˆ = X ‾ .

Passo 1

a.  f x 1 , … , x n ; α , β = x 1 x 2 … x n α - 1 e - Σ x i β β n α Γ n α , então a probabilidade logarítmica é α - 1 l n ∑ ⁡ x i - ∑ x i β - n α ln ⁡ β - nln ⁡ Γ α . Equacionando ambos   d d α  e   d d β  para 0  uma vez que    ∑ l n ⁡ x i - n l n ⁡ ( β ) - n d d α Γ ( α ) = 0  and  ∑ x i β 2 = n α β = 0 , sistema de equações muito difícil de resolver.

Passo 2

b. Da segunda equação em a, ∑ x i β = n α ⇒ x - = α β = μ ,  então a mle de  μ  é μ ^ = X - .

Resposta

a . sistema de equações muito difícil de resolver.

B. μ ^ = X - .

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