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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 28

Seja X 1 , X 2 , … , X n a amostra aleatória da distribuição de Rayleigh com função de densidade dada no Exercício 15. Determine

a. o estimador de máxima verossimilhança de θ e depois calcule a estimativa dos dados da força vibratória fornecida nesse exercício. Esse estimador é o mesmo que o estimador não-tendencioso sugerido no Exercício 15 ?

b. a emv da mediana da distribuição da força vibratória. (Sugestāo: expresse primeiro a mediana em termos de θ . )

Passo 1

a.  x 1 θ e x p ⁡ - x 1 2 / 2 θ … x n θ e x p ⁡ - x n 2 / 2 θ = x 1 … x n exp ⁡ - Σ x i 2 / 2 θ θ n . O logaritmo natural da função de verossimilhança é l n ⁡ x i … x n - n l n ⁡ ( θ ) - ∑ x i 2 2 θ .Tomando a derivada wrt θ e igualando a 0 dá - n θ + Σ x i 2 2 θ 2 = 0 , então   n θ = Σ x i 2 2  e θ = Σ x i 2 2 n .   O mle é, portanto, θ ˆ = ∑ X i 2 2 n , que é idêntico ao imparcial estimador sugerido no Exercício 15 .

Passo 2

b. Para x>0 o cdf de X se F ( x ; θ ) = P ( X ≤ x ) é igual a 1 - e x p ⁡ - x 2 2 θ .. Igualando isso a .5 e resolvendo para x dá a mediana em termos de θ : . 5 = e x p ⁡ - x 2 2 θ implica que   l n ⁡ ( . 5 ) = - x 2 2 θ , então x = μ ˜ = 1.38630 . O ml de μ ˜ é, portanto,   ( 1.38630 θ ˆ ) 1 2

Resposta

a . θ ˆ = ∑ X i 2 2 n , que é idêntico ao imparcial estimador sugerido no Exercício 15 .

b. ( 1.38630 θ ˆ ) 1 2

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