Seja f ( x ) uma função contínua definida em 0 ≤ x ≤ 1 . Considere as funções

B n x = ∑ k = 0 n f k n n k x k ( 1 - x ) n - k

(chamadas de polinômios de Bernstein) e demonstre que

lim n → ∞ ⁡ B n x = f ( x )

Dica: Suponha que X 1 , X 2 , … sejam variáveis aleatórias de Bernoulli independentes com média x. Mostre que

B n x = E f X 1 + … + X n n

e então use o Exercício Teórico 8.4.

Como é possível mostrar que a convergência de B,(x) em f(x) é uniforme em x, o raciocínio anterior fornece uma demonstração probabilística do famoso teorema da análise de Weierstrass, que diz que qualquer função contínua em um intervalo fechado pode ser aproximada por um polinômio.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício?

No caso, N é independente de X N . Nós podemos ver isso considerando a questão equivalente de se X N é independente de N ou não.

Mas isso é verdade, já que saber quando a primeira variável aleatória maior que C ocorre não afeta a distribuição de probabilidade de seu valor, que é a distribuição uniforme em (C,1)

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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