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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 28

Seja X uma variável aleatória geométrica, com parâmetro P. Encontre um estimador de máxima verossimilhança de P baseado em uma amostra aleatória de tamanho n

Passo 1

X é uma variável aleatória geométrica com parâmetro p, e sua função de densidade é:

f ( x ) = ( 1 - p ) x - 1 p ;   x = 1,2 , . . .

Vamos calcular o estimador de máxima verossimilhança de p com base em uma amostra de tamanho n.

L ( p ) = p ( 1 - p ) x 1 - 1 × p ( 1 - p ) x 2 - 1 , . . . , p ( 1 - p ) x n - 1

= p n ∏ i = 1 n ( 1 - p ) x i - 1

Aplicando log dos dois lados…

l o g p n + ( 1 - p ) ∑ i = 1 n x i - n

= n l o g p + ∑ i = 1 n x i - n l o g ( 1 - p )

Passo 2

Vamos diferenciar com respeito a p e igualar a zero.

d l o g L ( p ) d p = n p + ( ∑ i = 1 n x i - n ) 1 - p ( - 1 ) = 0

p ^ = n ∑ i = 1 n x i

Resposta

p ^ = n ∑ i = 1 n x i

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