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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 26

Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, tendo distribuições X n 1 ²   e X n 2 ²   respectivamente. Seja a variável aleatória F definida da seguinte maneira: F = X n 1 Y n 2 . (Esta variável aleatória desempenha importante papel em muitas aplicações estatísticas.) Verifique que a fdp de é dada pela seguinte expressão:

h f = Γ n 1 + n 2 2 Γ n 1 2 Γ n 2 2   n 1 n 2 n 1 2 f n 1 2 - 1 1 + n 1 n 2 f - 1 2 n 1 + n 2 ,   f > 0

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos o nosso valor esperado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

F = X n 1 Y n 2

h f = Γ n 1 + n 2 2 Γ n 1 2 Γ n 2 2   n 1 n 2 n 1 2 f n 1 2 - 1 1 + n 1 n 2 f - 1 2 n 1 + n 2 ,   f > 0

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

P K ≤ k = 1 - P K > k

P X > k = F k

E X - = μ

E S 2 = σ ²

h f = ∫ f x n 1 n 2 g f f y g n 1 n 2 g d g

Com isso, podemos começar a pensar.

f = x n 1 y n 2

g = y

x = n 1 n 2 f g

J f , g = ∂ x ∂ f ∂ x ∂ g ∂ y ∂ f ∂ y ∂ g = n 1 n 2 g

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

h f = ∫ f x n 1 n 2 g f f y g n 1 n 2 g d g

h f = 2 - n 1 + n 2 2 n 1 n 2 f n 1 2 - 1 n 1 n 2 Γ n 1 2 Γ n 2 2 ∫ g n 1 + n 2 2 - 1 e - 1 2 g n 1 n 2 f + 1 d g  

h f = Γ n 1 + n 2 2 Γ n 1 2 Γ n 2 2   n 1 n 2 n 1 2 f n 1 2 - 1 1 + n 1 n 2 f - 1 2 n 1 + n 2 ,   f > 0

Resposta

h f = Γ n 1 + n 2 2 Γ n 1 2 Γ n 2 2   n 1 n 2 n 1 2 f n 1 2 - 1 1 + n 1 n 2 f - 1 2 n 1 + n 2 ,   f > 0

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Verifique que as estimativas de mínimos quadrados α ^ e β ^ , tal como dadas pelas Eqs. (14.7) e (14.8), são não-tendenciosas.
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Uma centena de componentes foi ensaiada, e 93 deles funcionaram mais de 500 horas. Determine um intervalo de confiança de 95 por cento (bilateral) para p = P c o m p o n e n t ef u n c i o n em a i sd
Verifique que as expressões de V α ^ e V β ^ , tal como dadas pelas Eqs. (14.9).