Exercícios de Dimensionamento da Amostra com Desvio Padrão Desconhecido - Lista de Exercícios Resolvida

Os dados abaixo correspondem a medições do QI (Quociente de Inteligência) para uma amostra de 30 pessoas.

117 106 106 100 90 91 130 96 98 99 112 130 102 101 94

100 126 83 106 121 79 103 126 78 79 97 100 93 103 107

Deseja-se estimar a média populacional dessa variável, supondo distribuição Normal.

1. Qual a probabilidade de que o erro absoluto na estimação com base nessa amostra seja inferior a 3 unidades?
2. Qual seria o tamanho de uma nova amostra para que, com 95% de probabilidade, o erro absoluto de estimação seja inferior a 3 unidades?

Obs.: Para facilitar os cálculos, informa-se que: e .

Um abaixo assinado é feito em uma determinada municipalidade para pedir à autoridade competente que seja realizada uma grande obra de interesse público. As assinaturas foram coletadas em 600 folhas. Para obter uma estimativa rápida do número total de assinaturas coletadas, foram contadas as assinaturas que constam em 25 folhas escolhidas ao acaso, tendo-se obtido valores tais que:

Use os resultados obtidos a partir dessa primeira amostragem para dimensionar uma outra amostra aleatória que permita estimar o número total de assinaturas com um erro menor que mil, com probabilidade .

Usando os seguintes dados,

E admitindo que a média populacional é desconhecida, dimensione uma nova amostra dessa população que nos permita estimar de forma que o erro absoluto de estimação seja menor que 0,5 com probabilidade .

1. Se é desconhecido.

Os dados abaixo correspondem a medições do QI (Quociente de Inteligência) para uma amostra de 30 pessoas.

117 106 106 100 90 91 130 96 98 99 112 130 102 101 94

100 126 83 106 121 79 103 126 78 79 97 100 93 103 107

Deseja-se estimar a média populacional dessa variável, supondo distribuição Normal.

1. Qual a probabilidade de que o erro absoluto na estimação com base nessa amostra seja inferior a 3 unidades?
2. Qual seria o tamanho de uma nova amostra para que, com 95% de probabilidade, o erro absoluto de estimação seja inferior a 3 unidades?

Obs.: Para facilitar os cálculos, informa-se que: e .

A proporção da população que pretende votar no candidato em uma dada eleição, é um parâmetro desconhecido e que só será revelado no dia da eleição. Assumindo que os eleitores não modifiquem suas intenções de voto, responda:

a) Deduzir detalhando todos os passos necessários para a construção do Intervalo de confiança – IC para a proporção.

b) Para um nível de confiança de 95%, qual é o erro máximo em pontos percentuais que podemos cometer com relação à estimativa da pesquisa, , calculada com uma amostra de tamanho ?

c) Qual deverá ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no máximo ponto percentual, i.e. o comprimento do intervalo em cada lado do estimador da proporção ser inferior a , ao mesmo nível de confiança e para a mesma estimativa do item b)?

Foi realizado um procedimento de amostragem envolvendo a coleta de dados relativos a determinada população , que levaram à construção simultânea de dois intervalos de confiança: um deles para a média populacional da variável definida em (com base em uma amostra de tamanho nµ) e o outro para a proporção dos elementos de com certa característica (com base em uma amostra de tamanho np). Ocorre que, em todos os três itens a seguir, a razão entre a amplitude do intervalo de confiança e a estimativa pontual do parâmetro resultou ser exatamente a mesma, tanto no caso de se estimar como no caso de se estimar , ou seja,

(a) Calcule o valor da média amostral , se: (ou seja, se os níveis de confiança dos s˜ao iguais); (os tamanhos amostrais são iguais); , 2 (o desvio padrão populacional de X é ); (a proporção amostral é igual a ); e o para é não conservativo (não conservador).

(b) Determine o nível de confiança do para a proporção , se: ; a v.a. segue um modelo Normal; é desconhecido; (o coeficiente de variação amostral de é igual a ); (o nível de confiança do para é ); ; e o IC para é conservativo (conservador).

(c) Determine o tamanho de amostra usada para estimar se: ; ; o para é conservativo (conservador); (o coeficiente de variação populacional de é aproximadamente igual a ); (a média amostral está muito próxima da média populacional); e é conhecido.

Numa linha de produção se precisa estimar a proporção de peças defeituosas. Existem dois tipos de defeitos: A e B. Sejam a proporção de peças que apresentam o defeito A e a proporção de peças que apresentam o defeito B. Deseja-se que as estimativas não se desviem das proporções verdadeiras, tanto para quanto para , por mais de 0,08 com probabilidade de 98%.

(a) Sem nenhum conhecimento prévio, quantas peças se precisa examinar para satisfazer as exigências na estimativa da proporção pA?

(b) Foi verificado que o tipo de defeito B afeta no máximo 20% das peças. Quantas peças se precisa examinar para satisfazer as exigências?

(c) Numa única amostra, quantas peças se precisa examinar para se satisfazer as duas exigências conjuntamente, tanto para pA quanto para pB?

(d) Repita o que foi feito no item (c), porém agora sendo um pouco mais tolerante com a precisão na estimação de pA: o erro absoluto deve ser menor que 0,12 com 95% de probabilidade