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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 5

Sendo X uma variável seguindo o modelo Binomial com parâmetros n = 15 e p = 0,4 ; pergunta-se:

  1. P ( X ≥   14 ) .
  2. P ( 8 < X ≤ 10 ) .
  3. P ( X < 2   o u   X ≥   11 ) .
  4. P ( X ≥ 11   o u   X   >   13 ) .
  5. P ( X > 3   e   X < 6 ) .
  6. P X ≤ 13 X ≥ 11 ) .

Passo 1

Então temos uma variável X ~ b ( 15 ,   0,4 ) , lembrando que uma variável de Bernoulli genérica b ( n ,   p ) tem sua função dada por:

P X = k = n k   p k 1 - p n - k ,       k = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n

E podemos calcular n k com:

n k = n ! k ! n - k !

Passo 2

    2. P X ≥   14 = P X = 14 + P ( X = 15 )

    P X ≥   14 =   15 14   0,4 14 1 - 0,4 15 - 14 +   15 15 0,4 15 1 - 0,4 15 - 15

    P X ≥ 14 = 0,0000429 ≈ 0 +

    PS: 0 + significa que é uma valor muito próximo de zero, mas positivo, utilizaremos essa notação para valores que não alcancem os milésimos (3 casas decimais).

    Passo 3

    3. P 8 < X ≤ 10 = P X = 9 + P ( X = 10 )

    P 8 < X ≤ 10 =   15 9   0,4 9 1 - 0,4 15 - 9 + 15 10   0,4 10 1 - 0,4 15 - 10

    P 8 < X ≤ 10 = 0,0857

    Passo 4

  3. Por existir um o u aqui teremos que calcular as duas probabilidades e depois soma-las

    4. P X < 2   o u   X ≥   11 = P X < 2 + P ( X ≥ 11 )

    P X < 2 = P X = 1 = 0,005

    P X ≥ 11 = P X = 11 + P X = 12 + … + P X = 15

    P X ≥ 11 = 0,009  

    P X < 2   o u   X ≥   11 = P X < 2 + P X ≥ 11 = 0,014

    PS: Para conferir os valores e/ou efetuar os cálculos, depois que você já tiver entendido o conceito, é possível utilizar planilhas ou sites online (Ex: https://stattrek.com/online-calculator/binomial.aspx).

    Passo 5

  4. No caso X > 13 ,   está englobado dentro de X ≥ 11 , logo não precisamos somar nesse caso, senão estaríamos contando duas vezes, logo

    5. P X ≥ 11   o u   X   >   13 = P X ≥ 11 = P X = 11 + P X = 12 + … + P ( X = 15 )

    P X ≥ 11 = 0,009

    P X ≥ 11   o u   X   >   13 = 0,009

    Passo 6

    6. P X > 3   e   X < 6 = P X = 4 + P ( X = 5 )

    P X > 3   e   X < 6 = 0,127 + 0,186 = 0,313

    Passo 7

  6. Lembrando da fórmula de probabilidade condicional:

P B A = P A ∪ B P A

Logo:

P X ≤ 13 X ≥ 11 = P X ≥ 11   e   X ≤ 13 P X ≥ 11

P X ≤ 13 X ≥ 11 = P X = 11 + P X = 12 + P X = 13 P X = 11 + P X = 12 + … + P ( X = 15 )

P X ≤ 13 X ≥ 11 = 0,007 + 0,002 + 0 + 0,009

No caso encontraríamos um valor maior que 1, o que está errado, porque apesar do valor ser bem próximo de 1, ele não é 1. Então vamos trabalhar com mais casas decimais:

P X ≤ 13 X ≥ 11 = 0,00741 + 0,00164 + 0,00025 0,00935 = 0,995

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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