Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 7
Um filantropo escreve um número positivo em um pedaço de papel vermelho, mostra o papel a um observador imparcial, e então o coloca sobre a mesa com a face escrita para baixo. O observador então joga uma moeda honesta. Se der cara, ele escreve o valor em um pedaço de papel azul, que é então colocado sobre a mesa com a face escrita para baixo. Se der coroa, ele escreve o valor neste mesmo papel. Sem saber o valor de ou se a moeda deu cara ou coroa, você tem a opção de virar para cima o papel vermelho ou o azul.
Após fazer isso e observar o número escrito no papel, você deve escolher entre receber como prêmio aquela quantia ou a quantia (desconhecida) escrita no outro pedaço de papel. Por exemplo, se você escolher virar o papel azul e observar o valor de 100 , então você pode escolher entre aceitar 100 como seu prêmio ou assumir o valor escrito no papel vermelho, que pode ser de 200 ou 50. Suponha que você queira que sua recompensa esperada seja grande.
(a) Mostre que não há motivo para virar o papel vermelho primeiro, porque, se você fizer isso, entāo não importará o valor que você observar. Em outras palavras, mostre que será sempre meIhor optar pelo papel azul.
(b) Suponha que seja um valor não negativo fixo e considere a seguinte estratégia: vire o papel azul e, se o valor escrito for pelo menos igual a , então aceite aquela quantia. Se for menor que , então troque pelo papel vermelho. Suponha que represente a recompensa obtida se o filantropo escrever a quantia e você empregar a estratégia descrita. Obtenha . Observe que é a recompensa esperada se o filantropo escrever a quantia quando você empregar a estratégia de sempre escolher o papel azul.
Passo 1
(a) Se você virar o papel vermelho e ver o valor , então o seu retorno esperado se você mudar para o papel azul é
Passo 2
(b) Suponha que o filantropo escreva o valor no papel vermelho. Então o valor no papel azul é ou . Observe que, se , entāo o valor no papel azul será pelo menos igual a , e com isso será aceito. Neste caso, portanto, a recompensa tem a mesma probabilidade de ser ou . Assim,
Se , então o papel azul será aceito se o seu valor for e rejeitado se o seu valor for . Portanto,
Finalmente, se , entāo o papel azul será rejeitado. Neste caso, portanto, a recompensa é . Assim,
Isto é, mostramos que quando o valor está escrito no papel vermelho, o retorno esperado é
Resposta
(a)
(b)