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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 21

Sorteia-se ao acaso um dentre os números 9 ,   12 ,   18 e 27 e é feita a decomposição do número sorteado em fatores primos. Sejam D e T , as variáveis que representam, respectivamente, o número de vezes em que o 2 e 3 aparecem na decomposição.

a) Construa a conjunta entre D e T .

b) Calcule a covariância e o coeficiente de correlação entre as variáveis.

Passo 1

Podemos sorter qualquer um dos quatro números com a mesma probabilidade:

1 4

Assim, podemos construir a tabela fazendo a decomposição de cada um dos números possivelmente sorteados:

Agora podemos construir a tabela conjunta de D ,   T com as probabilidades de cada situação:

Com isso, tiramos as distribuições marginais:

P T = 1 = 1 4 ,             P T = 2 = 1 2             e           P T = 3 = 1 4

P D = 0 = 1 2 ,           P D = 1 = 1 4 ,               P D = 2 = 1 4

Passo 2

Queremos calcular a covariação, dada por

C o v D ,   T = E D T - E D E T

Considerando os quatro eventos possíveis da primeira tabela:

E D ,   T = ∑ d t   P D = d     T = t )

E D T = 0 ⋅ 2 ⋅ 1 4 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 4 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 4 + 0 ⋅ 3 ⋅ 1 4 = 1

Para achar E D , usamos a distribuição marginal p ( d ) :

E D = 0 ⋅ P D = 0 + 1 ⋅ P D = 1 + 2 ⋅ P D = 2

E D = 0 + 1 ⋅ 1 4 + 2 ⋅ 1 4 = 3 4

Da mesma forma

E T = 1 ⋅ P T = 1 + 2 ⋅ P T = 2 + 3 ⋅ P ( T = 3 )

E T = 1 ⋅ 1 4 + 2 ⋅ 1 2 + ⋅ 3 ⋅ 1 4 = 2

Assim,

C o v D ,   T = E D T - E D E T = 1 - 3 4 ⋅ 2 = - 1 2

Passo 3

Por fim, queremos achar a correlação linear

ρ D T = C o v D ,   T σ D   σ T

Desta forma, precisamos achar as variâncias:

V a r D = 0 - E D 2   P D = 0 + 1 - E D 2   P D = 1 + 2 - E D 2   P D = 2

V a r D = 3 4 2 ⋅ 1 2 + 1 4 2 ⋅ 1 4 + 5 4 2 ⋅ 1 4 = 11 16

Analogamente,

V a r T = 1 - E T 2   P T = 1 + 2 - E T 2   P T = 2 + 3 - E T 2   P T = 3

V a r T = 1 2 ⋅ 1 4 + 0 + 1 2 ⋅ 1 4 = 1 2

Com isso,

σ D = V a r D = 11 4             e           σ T = V a r T = 2 2

Logo,

ρ D T = C o v D ,   T σ D   σ T = - 1 2 11 4 ⋅ 2 2 = - 4 22

Fazendo a conta numericamente:

ρ D T = - 0,85

Resposta

C o v D ,   T = - 1 2

ρ D T = - 0,85

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