Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 18
Uma moeda equilibrada é lançada três vezes e são definidas as variáveis aleatórias: número de caras nos dois primeiros resultados (), número de caras no último lançamento () e número total de caras ().
a) Construa a tabela conjunta de .
b) Verifique se e são independentes.
c) Calcule , e .
d) Expresse em função de e e determine e .
Passo 1
Bom, o primeiro passo é construir o espaço amostral. Nesse caso, como cada lançamento tem duas possibilidades e temos três lançamentos, o número total de eventos no espaço amostral é
Assim, podemos construir a tabela:
Agora podemos construir a tabela conjunta de com as probabilidades de cada situação:
Note que os únicos casos que a probalidade não é são os casos quem que , pois cada um deles têm multiplicidade dupla de ocorrência!
Passo 2
Agora temos que verificar se e são independentes. Raciocinando sem fazer nenhuma conta, por quê o resultado do terceiro lançamento deveria depender dos dois primeiros? Com isso, somos levados a conjecturar que e são independentes, mas devemos provar isso.
Duas variáveis e são independentes se para todos os do espaço amostral, tivermos:
Da tabela conjunta, temos que
Portanto,
Com isso, vemos que para todos os do espaço amostral, vale
Portanto, e são de fato independentes!
Passo 3
Agora que já conhecemos as distribuições marginais de probabilidade e , podemos calcular:
Além disso, como e são independentes, temos que
Portanto,
Passo 4
É fácil perceber que
Se é o total de caras nos dois primeiros lançamos e é o total de caras no terceiro lançamento, a soma de com vai ser o total de caras nos dois lançamentos!
Assim,
Já para a variância, usamos a fórmula:
Como , temos que
Vamos calcular a variação de :
Já para :
Assim,