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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 135

Suponha que f ( x ) = 0,5 - 1 para 2 < x < 4 . Determine o seguinte:

  1. P ( X < 2,5 )
  2. P ( X > 3,0 )
  3. P ( 2,5 < X < 3 , 5 )
  4. Determine a função de distribuição cumulativa da variável aleatória.
  5. Determine a média e a variância da variável aleatória.

Passo 1

A função de densidade de probabilidade f da variável aleatória X é dada como:

f ( x ) = ( x - 2 ) 2 ,   s e   2 < x < 4

f ( x ) = 0 ,   e m   o u t r o   c a s o

Vamos primeiro determinar a função de distribuição cumulativa dessa variável aleatória que fará com que os cálculos nas partes a-c sejam mais fáceis. Vamos calcular a função de distribuição cumulativa pela definição:

F ( x ) = 0 ,   s e   x ≤ 2

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ( 1 / 2 ) ∫ 2 x ( y - 2 ) d y = ( x - 2 ) 2 4 ,   s e   2 < x < 4

F ( x ) = 1 ,   x   ≥   4

Agora, vamos calcular o que se pede!!!

Passo 2

Letra a:

P ( X < 2.5 ) = F ( 2.5 ) = 1 16

Passo 3

Letra b:

P ( X > 3 ) = 1 - F ( 3 ) = 3 4

Passo 4

Letra c:

P ( 2.5 < X < 3.5 ) = F ( 3.5 ) - F ( 2.5 ) = 1 2

Passo 5

Letra d:

A função de distribuição cumulativa já foi encontrada lá em cima:

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 2

F ( x ) = ( x - 2 ) 2 4 ,   s e   2 < x < 4

F ( x ) = 1 ,   s e   x   ≥   4

Passo 6

Letra e:

Finalmente, vamos calcular a média e a variância:

E ( X ) = 1 2 × ∫ 2 4 ( x 2 - 2 x ) d x = 10 3

E ( X 2 ) = 1 2 ∫ 2 4 x 2 ( x - 2 ) d x = 34 3

V a r ( X ) = 34 3 - 100 9 = 2 9

Resposta

  1. 1 16
  2. 3 4
  3. 1 2
  4. F ( x ) = 0 ,   s e   x ≤ 2

    5. F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ( 1 / 2 ) ∫ 2 x ( y - 2 ) d y = ( x - 2 ) 2 4 ,   s e   2 < x < 4

    F ( x ) = 1 ,   x   ≥   4

  5. 10 3   e   2 9
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