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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 54

Suponha que a densidade sedimentar (g/cm) de um espécime selecionado aleatoriamente de uma determinada região tenha distribuição normal com média de 2,65 e desvio padrão de 0,85 (sugerido em “Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants” (Modelo de Sedimentos e Interações da Coluna de Água para Poluentes Hidrofóbicos) Water Research, 1984, p. 1169-1174).

a. Se uma amostra aleatória de 25 espécimes é selecionada, qual é a probabilidade de a densidade sedimentar média amostral ser de no máximo 3,00? Entre 2,65 e 3,00?

b. Qual deve ser o tamanho de uma amostra para garantir que a primeira probabilidade da parte (a) seja no mínimo 0,99?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Antes de calcularmos o que o enunciado nos pede, vamos definir algumas variáveis.

Temos uma variável aleatória X normalmente distribuída com média μ = 2,65 e desvio padrão de σ = 0,85 . Então, agora podemos fazer os cálculos. Bora lá!!!

Passo 2

O valor médio da média amostral é:

μ X - = μ = 2,65

E o de desvio padrão dela:

σ X - = σ n = 0,85 25 = 0,17

Logo, a probabilidade do evento X - ≤ 3 .

P X - ≤ 3 = P X - - μ X - σ X - ≤ 3 - 2,65 0,17

= P ( Z ≤ 2,06 )

= 0,9803

Agora, a probabilidade de ser 2,65 ≤ X - ≤ 3 .

P 2,65 ≤ X - ≤ 3 = P X - ≤ 3 - P ( X - ≤ 2,65 )

= P Z ≤ 2,06 - P ( Z ≤ 0 )

= 0,4803

Passo 3

Para o valor de n vamos usar a fórmula abaixo:

Z = X - - σ X - σ / n

O que o enunciado nos pede é:

P X - ≤ 3 = 0,99

Então,

P Z ≤ 3 - 2,65 0,85 / n = 0,99

Pela tabela de probabilidade normal do apêndice, isso implica que:

0,35 0,85 / n = 2,33

Isso, porque a probabilidade do evento Z ≤ 2,33 é 0,99.

n = 32,02

Por fim, o tamanho da amostra para que a probabilidade P ( X - ≤ 3 ) seja pelo menos 0,99 é:

n = 33

Resposta

  1. P X - ≤ 3 = 0,9803                     P 2,65 ≤ X - ≤ 3 = 0,4803            

  2. n = 33

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