Seja X a vida útil de um componente, com e sendo a fdp e a fdc de . A probabilidade de o componente apresentar falha no intervalo é aproximadamente . A probabilidade condicional de o componente apresentar falha em , dado que durou ao menos , é . Dividindo a expressão por produz a função de taxa de falha:

Um aumento da função de taxa de falha indica que os componentes mais antigos têm mais probabilidade de apresentar desgaste, enquanto uma taxa de falha decrescente é evidência de aumento de confiabilidade com a idade. Na prática, uma falha “com formato de banheira” é assumida com frequência.

a. Se tiver distribuição exponencial, qual será ?

b. Se tiver distribuição de Weibull com parâmetros e , qual será ? Para que valores de parâmetros r(x) aumentará? Para que valores de parâmetros diminuirá com ?

c. Como . Suponha

de forma que, se um componente durar horas, durará para sempre (apesar de não parecer razoável, o modelo é usado para estudar apenas o “desgaste inicial”). Quais são a fdc e a fdp de ?

A função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa da distribuição exponencial com parâmetro são:

Substituindo na função do enunciado:

A função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa da distribuição de Weibull com parâmetro e são:

Substituindo os valores encontramos:

Derivando:

Igualando a zero, achamos a equação:

Se a for menor do que 1 a função diminuirá.

Agora, temos a seguinte função:

Determinando a integral:

O logaritmo natural de é igual o negativo da integral acima:

Isolando .

A densidade de probabilidade é a derivada da distribuição cumulativa: