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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 173

Suponha que a tabela de contagem de itens seja generalizada como segue:

em que a , b   e   k são inteiros positivos. Seja A o evento em que um item é proveniente do fornecedor 1 e seja B o evento em que um item obedece às especificações. Mostre que A e B são eventos independentes.

Esse exercício ilustra o resultado de que quando as linhas de uma tabela (com r linhas e c colunas) são proporcionais, um evento definido por uma categoria na linha e um evento definido por uma categoria na coluna são independentes.

Passo 1

Vamos denotar os eventos em questão da seguinte maneira:

A = fornecedor 1

B = está em conformidade com especificações

Vamos calcular diretamente da tabela fornecida no exercício:

P ( A ) = k a + k b k a + k b + a + b = k k + 1

P ( B ) = k a + a k a + k b + a + b = a a + b

P ( A ∩ B ) = k a k a + k b + a + b

Observe que:

P ( A ) P ( B ) = k a ( k + 1 ) ( a + b ) = k a k a + k b + a + b = P ( A ∩ B )

Então, os eventos A e B são independentes.

Resposta

Na tabela, nós encontramos P ( A ) = k / ( k + 1 ) . De modo semelhante, determinamos as probabilidades de os eventos B e A ∩ B e deduzimos a independência da definição.

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