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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 70

Suponha que tomemos uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição contínua que possui mediana 0, de modo que a probabilidade de qualquer observação ser positiva seja de 0,5. Agora, desprezamos os sinais das observações, classificamo-nas da menor para a maior em valor absoluto e, então, representamos por W soma das classificações das observações que têm sinal positivo. Por exemplo: se as observações forem - 0,3 , + 0,7 , + 2,1 , e - 2,5 , então as classificações das observações positivas serão 2 e 3, assim, W = 5 . No Capítulo 15, W será denominada estatística de postos de Wilcoxon. W pode ser representada como segue:

W = 1 ∙ Y 1 + 2 ∙ Y 2 + 3 ∙ Y 3 + … + n ∙ Y n

= ∑ i = 1 n i ∙ Y i

onde os Y i s são vas de Bernoulli independentes, cada uma com p = 0,5 ( Y i = 1 corresponde à observação com classificação i positiva). Calcule os dados a seguir:

a. E Y i e, então, E ( W ) , usando a equação para W [Sugestão: a soma dos n primeiros inteiros positivos é n ( n + 1 ) / 2 .]

b. V ( Y i ) e, então V ( W ) [Sugestão: a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos é n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) / 6 .]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Aqui temos um enunciado gigante, mas a resolução vai ser rapidinhaa, vamos distribuir o somatório e encontrar o que o enunciado nos pede. Bora lá!!!

Passo 2

Os valores esperados para uma variável aleatória de Bernoulli são 0,5 , acontece porque a varável aleatória só pode assumir o valor 0 com probabilidade de 0,5 ou o valor 1 com probabilidade de 0,5 . Portanto,

E Y i = 0 ∙ 0,5 + 1 ∙ 0,5 = 0,5

E o valor esperando de W é:

E W = E ( 1 ∙ Y 1 + 2 ∙ Y 2 + … + n ∙ Y n )

= 1 ∙ E Y 1 + 2 ∙ E Y 2 + … + n ∙ E ( Y n )

= ∑ k = 1 n k ∙ E ( Y k )

= ∑ k = 1 n k ∙ 0,5

= 0,5 ∑ k = 1 n k

E W = n n + 1 4

Passo 3

A variância de uma variável aleatória de Bernoulli é:

V Y i = E Y i 2 - E Y i 2

= 0 2 ∙ 0,5 + 1 2 ∙ 0,5 - 0,5 2

V Y i = 0,25

Assumindo que a as variáveis aleatórias Y i são independentes, podemos calcular a variância de W da seguinte forma:

V W = V ( 1 ∙ Y 1 + 2 ∙ Y 2 + … + n ∙ Y n )

= 1 2 ∙ V Y 1 + 2 2 ∙ V Y 2 + … + n 2 ∙ V ( Y n )

= ∑ k = 1 n k 2 ∙ V ( Y k )

= 0,25 ∑ k = 1 n k 2

V W = n n + 1 2 n + 1 24

Resposta

  1. E W = n n + 1 4

  2. V W = n n + 1 2 n + 1 24

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