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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 16

a. Para f ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) , como dado no Exemplo 5.10, calcule a função de densidade marginal conjunta de X 1 e somente de X 3 (integrando em x 2 ).

b. Qual é a probabilidade de que as rochas dos tipos 1 e 3 juntas formem no máximo 50 % da amostra? [Sugestão: use o resultado do item (a).]

c. Calcule a fdp marginal apenas de X 1 . [Sugestão: use o resultado do item (a).]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? No Exemplo 5.10, foi dada a seguinte fdp para a função f ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) :

f x 1 ,   x 2 ,   x 3 = k x 1 x 2 ( 1 - x 3 )

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

A função de densidade marginal conjunta é definida por:

f x 1 , x 3 = ∫ - ∞ ∞ f ( x 1 , x 2 , x 3 ) d x 2

= ∫ 0 1 - x 1 - x 3 k x 1 x 2 1 - x 3 d x 2

= 144 ∙ x 1 1 - x 3 ∫ 0 1 - x 1 - x 3 x 2 d x 2

= 72 ∙ x 1 1 - x 3 1 - x 1 - x 3 2 , x 1 ≥ 0 , x 3 ≥ 0 , x 1 + x 3 ≤ 1

f x 1 , x 3 = 0 Caso contrário

Logo, a densidade marginal conjunta é:

f x 1 , x 3 = 72 ∙ x 1 1 - x 3 1 - x 1 - x 3 2               x 1 ≥ 0 ,   x 3 ≥ 0 ,   x 1 + x 3 ≤ 1 0                                                                             c a s o   c o n t r á r i o

Passo 3

Agora, o que temos que fazer é calcular a probabilidade do evento que a soma das variáveis X 1 e X 3 seja menor ou igual a 0,5 .

P X 1 + X 3 ≤ 0,5 = ∫ 0 0,5 ∫ 0 0,5 - x 1 72 ∙ x 1 1 - x 3 1 - x 1 - x 3 2 d x 3 d x 1

Distribuindo as variáveis e integrando, encontramos:

P X 1 + X 3 ≤ 0,5 = 0,531

Passo 4

A fdp marginal de uma variável aleatória é calcula pela seguinte equação:

f X x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d y

Então, usando o resultado da (a).

f X 1 x 1 = ∫ - ∞ ∞ f ( x 1 , x 3 ) d x 3

= ∫ 0 1 - x 1 72 ∙ x 1 1 - x 3 1 - x 1 - x 3 2 d x 3

= 18 x 1 - 48 x 1 2 + 36 x 1 3 - 6 x 1 5

Logo, achamos a fdp marginal para 0 ≤ x 1 ≤ 1 .

E a fdp marginal é definida abaixo:

f x 1 = 72 ∙ x 1 1 - x 3 1 - x 1 - x 3 2               0 ≤ x 1 ≤ 1 0                                                                                                           c a s o   c o n t r á r i o

Resposta

  1. f x 1 , x 3 = 72 ∙ x 1 1 - x 3 1 - x 1 - x 3 2               x 1 ≥ 0 ,   x 3 ≥ 0 ,   x 1 + x 3 ≤ 1 0                                                                             c a s o   c o n t r á r i o

  2. P X 1 + X 3 ≤ 0,5 = 0,531

  3. f x 1 = 72 ∙ x 1 1 - x 3 1 - x 1 - x 3 2               0 ≤ x 1 ≤ 1 0                                                                                                           c a s o   c o n t r á r i o

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