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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 68

Dois aviões estão voando na mesma direção em corredores paralelos adjacentes. No tempo t 0, o primeiro avião está 10 km à frente do segundo. Suponha que a velocidade do primeiro (km/h) seja distribuída normalmente com média de 520 e desvio padrão de 10, e que a velocidade do segundo avião também seja normalmente distribuída com média e desvio padrão de 500 e 10, respectivamente.

a. Qual é a probabilidade de, após 2 h de vôo, o segundo avião não ter alcançado o primeiro?

b. Determine a probabilidade de os aviões estarem separados por no máximo 10 km após 2 h.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Pelo enunciado podemos definir X 1 como a velocidade do primeiro avião com valor médio 250 e desvio padrão de 10, e X 2 como a velocidade do segundo avião com valor médio 500 e também desvio padrão de 10.

Onde, o primeiro avião está 10km à frente do segundo. Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

As distâncias que os aviões viajaram são 2 X 1 + 10 e 2 X 2 . Logo, o evento de o segundo avião não alcançar o primeiro é dado por:

2 X 1 + 10 > 2 X 2

Reescrevendo a inequação acima:

X 2 - X 1 < 5

Logo, o valor médio, pelas variáveis serem independentes, pode ser calculado como:

E X 2 - X 1 = E X 2 - E X 1 = 500 - 520 = - 20

A variância:

V X 2 - X 1 = V X 2 + - 1 2 V X 1 = 100 + 100 = 200

Então, o desvio padrão é:

σ = 200 = 14,14

Por fim, calculando a probabilidade.

P X 2 - X 1 < 5 = P X 2 - X 1 - - 20 14,14 < 5 - - 20 14,14

= P ( Z < 1,77 )

P X 2 - X 1 < 5 = 0,9616

Passo 3

A distância de separação pode ser representada por:

2 X 2 - 10 - 2 X 1

Então, a probabilidade de que os dois aviões estejam separados por no máximo 10km após duas horas é descrita pelo evento:

2 X 2 - 10 - 2 X 1 ≤ 10

Manipulando a inequação.

- 10 ≤ 2 X 2 - 10 - 2 X 1 ≤ 10

0 ≤ X 2 - X 1 ≤ 10

Por fim, a probabilidade é:

P 0 ≤ X 2 - X 1 ≤ 10 = P 0 - - 20 14,14 ≤ X 2 - X 1 - - 20 14,14 ≤ 5 - - 20 14,14

= P 1,41 ≤ Z ≤ 2,21

= P Z ≤ 2,21 - P Z ≤ 1,41

= 0,983 - 0,9207

P 0 ≤ X 2 - X 1 ≤ 10 = 0,0623

Resposta

  1. P X 2 - X 1 < 5 = 0,9616

  2. P 0 ≤ X 2 - X 1 ≤ 10 = 0,0623

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