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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 2

Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) tenha a fdp conjunta.

f x , y =   k x x - y ,   0 < x < 2 ,   - x < y < x 0 ,   c c

Calcule a constante k, a fdp marginal de X e a fdp marginal de Y.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a constante e as fdps marginais das variáveis. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

f x , y =   k x x - y

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

∫ ∫ f x , y d x   d y = 1

g x = ∫ f x , y d y

g y = ∫ f x , y d x

Substituindo nossos valores ali, teremos:

∫ ∫ k x x - y d x   d y = 1

k ∫ ∫ x 2 - x y d y d x = 8 k

k = 1 8

g x = 1 8   ∫ x x - y d y

g x = 1 4 x ³

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

g y = ∫ f x , y d x

g y =   1 8   ∫ x x - y d x

Para o intervalo de y, vamo precisar fazer de forma que não fique em função de x, ou seja, precisaremos dividir em duas expressões: para a parte positiva e para a parte negativa.

g y =   1 8   ∫ x x - y d x ,   0 ≤ y < 2 1 8   ∫ x x - y d x ,   - 2 < y ≤ 0

g y =   1 3 - y 4 + y 3 48 ,   0 ≤ y < 2 1 3 - y 4 + 5 y 3 48 ,   - 2 < y ≤ 0

Resposta

k = 1 8

g x = 1 4 x ³

g y =   1 3 - y 4 + y 3 48 ,   0 ≤ y < 2 1 3 - y 4 + 5 y 3 48 ,   - 2 < y ≤ 0

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