Enunciado

No tempo t = 0 , há um indivíduo com vida em certa população. Um processo de nascimento puro, então, desenvolve-se como segue. O tempo até o primeiro nascimento é exponencialmente distribuído com parâmetro λ . Após o primeiro nascimento, há dois indivíduos com vida. O tempo até que o primeiro dê à luz novamente é exponencial com parâmetro λ e acontece de maneira semelhante com o segundo indivíduo. Dessa forma, o tempo até o próximo nascimento é o mínimo de duas variáveis exponenciais ( λ ) , que é exponencial com parâmetro 2 λ . De forma semelhante, uma vez que tenha ocorrido o segundo nascimento, há três indivíduos com vida, de modo que o tempo até o nascimento seguinte é uma va exponencial com parâmetro 3 λ e assim por diante (a propriedade de ausência de memória da distribuição exponencial está sendo usada aqui). Suponha que o processo seja observado até que o sexto nascimento tenha ocorrido e que os tempos de nascimento sucessivos sejam 25,2 , 41,7 , 51,2 , 55,5 , 59,5 , 61,8 (a partir dos quais você deve calcular os tempos entre os nascimentos sucessivos). Encontre a emv de λ . (Sugestāo: a verossimilhança é um produto de termos exponenciais.)

Passo 1

Seja , x 1 = o tempo até o primeiro nascimento, , x 2 = o tempo decorrido entre o primeiro e o segundo nascimento, e assim por diante. Então f x 1 , … , x n ; λ = λ e - λ x 1 ⋅ ( 2 λ ) e - 2 λ x 2 … ( n λ ) e - n λ x n = n ! λ n e - λ Σ k k . Assim a probabilidade logarítmica é l n ⁡ ( n ! ) + n l n ⁡ ( λ ) - λ Σ k x k . Tomando d/dλ e igualando a 0, obtém-se λ ˆ = n ∑ k = 1 n   k x k . Para a amostra dada, n = 6 , x 1 = 25.2 , x 2 = 41.7 - 25.2 = 16.5 , x 3 = 9.5 , x 4 = 4.3 , x 5 = 4.0 , x 6 = 2.3 ; então ∑ k = 1 6   k x k = ( 1 ) ( 25.2 ) + ( 2 ) ( 16.5 ) + … + ( 6 ) ( 2.3 ) = 137.7 e λ ˆ = 6 137.7 = . 0436

Resposta

043 6

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