Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 33
No tempo , há um indivíduo com vida em certa população. Um processo de nascimento puro, então, desenvolve-se como segue. O tempo até o primeiro nascimento é exponencialmente distribuído com parâmetro . Após o primeiro nascimento, há dois indivíduos com vida. O tempo até que o primeiro dê à luz novamente é exponencial com parâmetro e acontece de maneira semelhante com o segundo indivíduo. Dessa forma, o tempo até o próximo nascimento é o mínimo de duas variáveis exponenciais , que é exponencial com parâmetro . De forma semelhante, uma vez que tenha ocorrido o segundo nascimento, há três indivíduos com vida, de modo que o tempo até o nascimento seguinte é uma va exponencial com parâmetro e assim por diante (a propriedade de ausência de memória da distribuição exponencial está sendo usada aqui). Suponha que o processo seja observado até que o sexto nascimento tenha ocorrido e que os tempos de nascimento sucessivos sejam , 61,8 (a partir dos quais você deve calcular os tempos entre os nascimentos sucessivos). Encontre a emv de . (Sugestāo: a verossimilhança é um produto de termos exponenciais.)
Passo 1
Seja , o tempo até o primeiro nascimento, , o tempo decorrido entre o primeiro e o segundo nascimento, e assim por diante. Então . Assim a probabilidade logarítmica é . Tomando d/dλ e igualando a 0, obtém-se . Para a amostra dada, ; então e