Enunciado
Probabilidade e Estatística - Estatística Aplicada Farber e Larson- Ed: 6º - Capítulo 4.1 - Ex. 42
Variáveis aleatórias dependentes e independentes Duas variáveis aleatórias x e y são independentes quando o valor de x não afeta o valor de y. Quando as variáveis não são independentes, elas são dependentes. Uma nova variável aleatória pode ser formada ao se encontrar a soma ou diferença das variáveis aleatórias. Se uma variável aleatória x tem média , e uma variável aleatória y tem média , então as médias da soma e da diferença das variáveis serão dadas pelas seguintes fórmulas:
Se as variáveis aleatórias são independentes, a variância e o desvio padrão da soma ou diferença das variáveis aleatórias podem ser encontrados. Portanto, se uma variável aleatória x tem variância e uma variável aleatória y tem variância , as variâncias da soma e da diferença das variáveis serão dadas pelas fórmulas a seguir. Note que a variância da diferença é a soma das variâncias.
Nos exercícios 41 e 42, a distribuição da pontuação do SAT para alunos pré-universitários tem média de 1.512 e um desvio padrão de 322. A distribuição da pontuação do SAT para alunas pré-universitárias tem uma média de 1.486 e um desvio padrão de 311. Um aluno e uma aluna são escolhidos aleatoriamente. Suponha que seus resultados sejam independentes. (Fonte: The College Board.)
42. Qual é o desvio padrão da diferença de seus resultados?
Passo 1
Fala galerinha boa, tudo bem? Vamos para mais uma questão de distribuição de probabilidades. Dessa vez, sobre transformação linear de variável aleatória.
Sabemos que a distribuição da pontuação do SAT para alunos pré-universitários tem média de 1.512 e um desvio padrão de 322. Sendo X essa variável aleatória, temos:
E o desvio padrão de X é:
Também temos que a distribuição da pontuação do SAT para alunas pré-universitárias tem média de 1. 486 e um desvio padrão de 311. Sendo Y essa variável aleatória, temos:
E o desvio padrão de Y é:
Passo 2
Não se pode somar nem subtrair desvios em uma nova variável aleatória, pois as medidas tem grandezas diferentes. Para se calcular o desvio padrão de uma variável aleatória transformada linearmente, deve-se somar as variâncias e tirar a raiz quadrada (mesmo nos casos de subtração, pois como a variância é uma medida quadrática, o -1 vai para fora elevado ao quadrado).
Sendo assim, precisamos calcular as variâncias de X e Y, que serão, respectivamente, seus desvios elevados ao quadrado, já que buscamos a conta inversa da raiz quadrada.
Passo 3
Agora sim, podemos calcular o desvio padrão de X - Y.
O desvio padrão das diferenças é 447,67 pontos.
E é isso galerinha. Até a próxima!