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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 57

Se X]y Xy> ..., Xti são variáveis aleatórias independentes, com distribuição exponencial idêntica com parâmetro 0, mostre que a função de densidade da variável

aleatória Y - Xx + X, + ... + Xné aquela da distribuição

gama com parâmetros a = n e (3 = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que X 1 , X 2 , … , X n são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial idêntica com parâmetro θ . A função densidade de x é dada por

f ( x ) = 1 θ e - x θ ; x > 0 0 ;   restante  

Temos que mostrar que a função densidade de Y = X 1 + X 2 + … + X n é a distribuição gama com parâmetro α = n e β = θ podemos provar usando a função geradora de momento. A densidade gama com parâmetro α e β é dada por

f ( x ) = 1 β α Γ ( α ) x α - 1 e - x / β ; x > 0 0 ;   restante  

Passo 2

A função geradora de momento para a distribuição gama é dada por

M X ( t ) = E e t x = ∫   e α x f ( x ) d x   = ∫ 0 ∞     e t x 1 β α Γ ( α ) x α - 1 e - x / β d x   = 1 β α Γ ( α ) ∫ 0 ∞     e t x x α - 1 e - x / β d x   = 1 β α Γ ( α ) ∫ 0 ∞     x α - 1 e - x 1 β - t d x

= 1 β α 1 β - t α 1 β - t - α Γ ( α ) 0 ∫ 0 ∞   x α - 1 e - x 1 β - t d x

  = 1 ( 1 - β t ) α ∫ 0 ∞     x α - 1 e - x 1 β - t 1 β - t - α Γ ( α ) d x   = 1 ( 1 - β t ) α = ( 1 - β t ) - α

Para t < 1 / β , a integral é uma devido ao ser integrado função de densidade gama. Portanto, a função geradora de momento de uma distribuição exponencial, substituindo α como 1, é dada por

M X ( t ) = ( 1 - θ t ) - 1

Passo 3

Agora Y = X 1 + X 2 + … + X n , a função geradora do momento de Y pode ser expressa como

M Y ( t ) = E e t y   = E e t x 1 + x 2 + … + x n   = E e x 1 e α x 2 … e t x n   = E e x x 1 E e a 2 … E e x n   = ∏ i = 1 n     E e x i   = ∏ i = 1 n     M x i ( t )   = ∏ i = 1 n     ( 1 - θ t ) - 1   = ( 1 - θ t ) - n

Que é a função geradora de momento da distribuição gama com α = n e β = θ .

Resposta

Resposta nos passos.

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