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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 4b

A função de onda do orbital 2s do átomo de hidrogênio é N 2 - r a o e - r a o . Determine a constante de normalização N.

Passo 1

E aí, genteeee! Tudo bem? Esses exercícios são muito legais pra gente começar a desenvolver as ideias e conceitos que usamos na química quântica. Primeiro de tudo, vamos lembrar como normalizamos uma função de onda?

∫ ψ 2 d τ = 1

Passo 2

Agora no próximo passo a gente vai precisar abrir essa integral, pois estamos falando de uma integral tripla e precisamos ainda lembrar que o nosso d τ deve ser substituída pela forma que usamos sempre quando estamos em coordenadas polares, beleza?

∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π N 2 - r a 0 e - r 2 a 0 2 d ϕ   s e n θ   d θ   r 2   d r = 1

1 = N 2 ∫ 0 ∞ e - r a 0 2 - r a 0 2 r 2 d r   ∫ 0 π s e n θ   d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Passo 3

Agora bora que bora integrar isso aí?

1 = 4 π N 2 ∫ 0 ∞ e - r a 0 2 - r a 0 2 r r   d r

1 = 4 π N 2 ∫ 0 ∞ e - r a 0 4 - 4 r a 0 + r 2 a 0 2 r 2 d r = 4 π N 2 8 a 0 3

Só pra você ficar ligado, nesse passo aqui tivemos que fazer uma substituição tal que:

∫ 0 ∞ e - r k r 2 d r = 2 k 3

∫ 0 ∞ e - r k r 3 d r = 6 k 4

∫ 0 ∞ e - r k   r 4 d r = 24 k 5

Por fim, nossa constante de normalização N é dada por:

N = 1 4 2 π a 0 3  

Resposta

N = 1 4 2 π a 0 3  

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