Enunciado
Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas Teóricos - Ex. 22
Obtenha a eq. 13.34 para a constante de distorção centrifuga D, de uma molécula diatômica de massa efetiva m, trate a ligação como uma mola elástica com constante de força k e comprimento de equilíbrio r, a qual, quando é submetida a uma distorção centrifuga, passa a ter um novo comprimento r dedução imaginando que as partículas estão sujeitas a uma força restauradora de magnitude k (r,-r) perfeitamente equilibrada por uma força centrifuga ar, onde w é a velocidade angular da molécula em rotação. Considere então os efeitos quânticos exprimindo o momento angular por . Por fim, obtenha uma expressão para a energia da molécula em rotação, compare-a com a equação 13.33 e escreva uma expressão para Dj.
Passo 1
Eaii, galera! Vamos para mais uma questão?
A partir do equilíbrio entre a força centrífuga e a força de restauração, devemos lembrar que:
, de forma que o comprimento da ligação distorcida como uma função do comprimento da ligação de equilíbrio.
Classicamente, então, a energia seria a energia rotacional somada a energia da ligação esticada, certo? Então, teríamos:
Passo 2
Mas aí, se observarmos, nos vem na mente: como a energia é diferente da energia do rotor rígido? Isso ocorre pois, além da energia de alongamento da ligação, o maior momento de inércia altera o pico estritamente rotacional da energia.
Se substituirmos por l, e re por rc, então teremos:
Agora, supondo que seja pequeno (uma suposição razoável para a maioria das moléculas), podemos expandir a expressão e descartar quadrados ou potências superiores de , tendo:
Observe, aqui, que todo o segundo termo tem um fator de mesmo antes de elevar ao quadrado e expandir o denominador, portanto, descartamos todos os termos dessa expansão após o primeiro, ok?
Passo 3
Vamos, agora, começar a entender a expressão usando a clássica expressão para o momento angular:
Isso nos permite substituir expressões envolvendo J para todos os :
Ao mesmo tempo, expandimos o primeiro termo, parte de que podemos, agora, combinar com o último termo e, continuando a substituição de por r², e então carregando a expressão para seu equivalente mecânico quântico substituindo por J²:
Passo 4
Agora vamos dividir por hc e, assim, encontraremos o termo de rotação F(J):
Em que usamos para eliminar um divisor comum de h. Agora usando a definição da constante rotacional,
Finalmente, usamos a relação entre a constante de força e o número de onda vibracional:
Assim, teremos: