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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 47

Sabendo que os orbitais atômicos usados para fabricar híbridos são normalizados a 1 e são mutuamente ortogonais, (a) mostre que os dois híbridos tetraédricos h 1 = s + p x + p y + p z e h 3 = s - p x + p y - p z são ortogonais. (b) Construa os dois híbridos tetraédricos restantes, que são ortogonais a esses dois híbridos. Sugestão: Duas funções de onda são ortogonais se ∫ ψ 1 ψ 2 d τ = 0 , em que ∫ d τ significa “integrando sobre todo o espaço”.

Passo 1

O enunciado nos fala que os orbitais atômicos que geram os orbitais híbridos são ortogonais entre si e são normalizados.

Sabemos que se um orbital ψ está normalizado:

∫ ψ 2 d τ = 1

E que dois orbitais ψ 1 e ψ 2 são ortogonais entre si se:

∫ ψ 1 ψ 2 d τ = 0

Onde as duas integrações acima são sobre todo o espaço.

(a) Vamos então mostrar que os dois orbitais dados são ortogonais entre si, fazemos então:

∫ h 1 h 3 d τ

E mostramos que isso será zero.

Passo 2

Substituindo h 1 e h 3 :

∫ ( s + p x + p y + p z ) ( s - p x + p y - p z ) d τ

Resolvendo o produto:

∫ s 2 - p x 2 + p y 2 - p z 2 + … + p z p y d τ

Como a integral da soma é igual à soma das integrais:

∫ s 2 d τ - ∫ p x 2 d τ + ∫ p y 2 d τ - ∫ p z 2 d τ + … + ∫ p z p y d τ

Os termos cruzados como p z p y , resultarão em zero ao serem integrados, pois os orbitais que geram os híbridos são ortogonais, sobram apenas:

∫ s 2 d τ - ∫ p x 2 d τ + ∫ p y 2 d τ - ∫ p z 2 d τ

Que resultará em 1, pois os orbitais que geram os híbridos são normalizados, então ficamos com:

1 - 1 + 1 - 1 = 0

Portanto: ∫ h 1 h 3 d τ = 0

Passo 3

(b) Os outros orbitais híbridos devem ser ortogonais entre si e entre h 1 e h 2 , portanto:

h 2 = s - p x - p y + p z

h 4 = s + p x - p y - p z

Resposta

( a ) ∫ h 1 h 3 d τ = 0

( b ) h 2 = s - p x - p y + p z

h 4 = s + p x - p y - p z

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