Prove que, para , temos como verdade:
Passo 1
Vamos começar. Apesar de termos Delta de Dirac dentro dessa integral, podemos resolver usando propriedades de integrais. Afinal, como temos um produto de funções de tipos diferentes, uma boa ideia é usar integração por partes. Seja então:
Nossa integral pode ser entendida como:
E pela integração por partes, vamos ter:
A integral que ficou sobrando não vai sair daí facilmente, então vamos dedicar um passo na resolução só pra ela, beleza?
Passo 2
Show, pra resolver:
A gente pode lembrar que ela também é uma integral com produto de funções diferentes. Portanto, seja:
Nossa integral pode ser entendida como:
E pela integração por partes, vamos ter:
E juntando isso no resultado do passo , temos:
E pronto, agora podemos ver cada um dos pedaços isoladamente
Passo 3
Então, o primeiro pedaço vai ser:
O que vai dar:
Mas pela definição do Delta de Dirac:
Acabamos concluindo que esse pedaço todo é igual a :
Passo 4
Vamos pro segundo pedaço então, com . Lembrando da definição:
Como , vamos ter que:
E logo:
O resultado desse pedaço da integração por partes será:
Passo 5
Agora vamos calcular aquela integral que ficou faltando. Bem, já que ela é:
Podemos transformar ela em duas na verdade, já que , ficando então com:
Mas como:
No final das contas a gente fica com:
Opa, e olha só, temos a integral de uma derivada! Não importa quem for , esse resultado será:
Passo 6
Agora a gente junta tudo. Já que:
Temos então:
Provadíssimo!
Resposta
Por integração por partes sendo feita duas vezes, uma primeira usando:
E uma segunda usando:
Conseguimos provar que: