Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

Para saber quantas raízes do polinômio serão poxitivas (semiplano direito) podemos usar o critério de Roth-Hurwitz. A quantidade de troca de sinais que ocorrerem na primeira coluna do diagrama corresponderá ao número de raízes no semiplano direito.

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Logo de cara vemos que algo de errado não está certo. Esse zero na primeira coluna vai complicar a nossa vida, para lidar com ele a gente substitui o zero por épsilon, e segue a partir daí:

Vamos preencher a linha três seguindo as correlações de Routh-Hurwitz:

Colocando a nova linha no diagrama:

E prosseguindo a montagem:

Vamos fazer a análise do nosso diagrama agora. Para isso precisamos imaginar que épsilon é um número muito pequeno, positivo ou negativo, e ver o que acontece com os sinais dos números da primeira coluna.

Se épsilon for um número positivo muito pequeno, nós teremos que o número na primeira coluna da segunda linha será positivo, e da terceira linha será negativo. Sendo assim, ocorrerão duas trocas de sinais, da segunda para a terceira linha e da terceira para a quarta.

Agora se épsilon for um número pequeno negativo, nós teremos o número da primeira coluna na segunda linha negativo e na terceira linha positivo. Portanto, acontecerão também duas trocas de sinais: da primeira para a segunda linha e da segunda para a terceira.

Então chegamos à conclusão que existem duas raízes positivas do polinômia porque temos duas trocas de sinais na primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz.

Para determinar quantas raízes estarão no semiplano da direita, podemos utilizar o método de Routh-Hurwitz. O número de mudanças de sinal na primeira coluna do diagrama corresponderá ao número de raízes no semiplano direito.

O exercício já nos deu a função de transferência em malha fechada. Para aplicar o método de Routh-Hurwitz precisamos da equação característica, que nada mais é do que o denominador dessa função:

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Vamos preencher a linha três seguindo as correlações de Routh-Hurwitz:

Colocando a nova linha no diagrama:

Demos de cara com um problema, que é a presença de um zero na primeira linha. Para contornar esse problema, vamos substituir esse zero po um épsilon e seguir nossa vida como se nada tivesse acontecido:

Seguindo a montagem do diagrama teremos:

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Se o épsilon for um número muito pequeno positivo o número da primeiro coluna da linha três será positivo, da linha quatro também será positivo, e o mesmo acontecerá na linha cinco. A primeira coluna teria portanto três trocas de sinais: da primeira para a segunda linha, da segunda para a terceira e da quinta para a sexta.

Da mesma forma, se épsilon for um número negativo muito pequeno, teremos o termo da primeira coluna na linha três negativo, e nas linhas quatro e cinco positivo, que resultaria em três trocas de sinais novamente: da linha um para a dois, da três para a quatro e da cinco para a seis.

Portanto, temos três polos no semiplano direito e dois no semiplano esquerdo.

Primeiramente, devemos determinar qual é a nossa função de transferência em malha fechada para conseguir a equação característica do sistema.

Usando álgebra de diagrama de blocos teremos:

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

Colocando os valores no diagrama:

Temos aqui um na primeira coluna, o que é um problema, vamos então utilizar o método do épsilon, substituir nosso zero, e continuar daí:

Continuando montando o diagrama a partir daí, teremos:

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Por exemplo, se épsilon for um número positivo muito pequeno, o termo da primeira coluna da linha cinco assumirá um valor negativo, enquanto o termo da primeira coluna será positivo, tendo assim duas trocas de sinais na primeira coluna: da linha três para a linha quatro, e da linha quatro para a linha cinco.

Da mesma forma, se épsilon for um número negativo muito pequeno, teremos o termo da primeira coluna na linha três negativo, na linha quatro positivo, e na linha cinco positivo, tendo novamente duas trocas de sinais.

Portanto, o sistema é instável e apresenta duas raízes no semiplano direito, pois a primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz mostra duas trocas de sinais.

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

Colocando os valores no diagrama:

Opa! Caímos naquele caso onde temos um zero na primeira coluna. Não é legal quando acontece isso porque se não fizermos nada na próxima linha teremos uma divisão por zero que vai travar todo o nosso diagrama, sendo assim, uma solução rápida para driblar esse problema é substituir o zero por épsilon.

Vamos então continuar calculando o nosso diagrama a partir daí. Sempre que épsilon aparecer, a gente deixa o valor em função de épsilon.

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Se épsilon for muito pequeno e positivo, o valor da primeira coluna na terceira linha será positivo, na quarta linha, porém, será negativo, e na quinta linha ele volta a ser positivo, tendo portanto duas trocas de sinais.

Se ele for negativo, o valor da terceira linha será negativo, e os valores da quarta e da quinta linha serão positivos. Teremos novamente duas trocas de sinais.

Portanto, o sistema é instável e existem duas raízes da equação característica no semiplano direito.

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

Colocando os valores no diagrama:

Vixi, demos de cara com uma linha de zeros. Para resolver isso, devemos utilizar o polinômio auxiliar, que é sempre retirado da linha anterior. Como a linha anterior é a segunda linha do diagrama e a equação característica do sistema tem ordem cinco, o polinômio auxiliar terá ordem quatro. Sendo assim ele será:

Lembra sempre que o polinômio auxiliar sempre pula um termo. Então se ele tem ordem quatro, ele não vai apresentar os termos de ordem ímpar.

Agpra precisamos derivar o nosso polinômio auxiliar:

Os coeficientes desse novo polinômio serão os números que colocaremos no lugar da linha de zeros.

Vamos então continuar calculando o nosso diagrama a partir daí.

Vamos analisar o diagrama que obtivemos agora.

Existe uma troca de sinais entre a primeira e a segunda linha, o que indica a presença de um polo no semiplano direito.

Tivemos uma linha de zeros, e o nosso polinômio auxiliar foi:

Como o polinômio auxiliar foi de ordem 4, isso indica que temos 4 polos em simetria com relação à origem.

Entretanto, após a aparição da linha de zeros, não tivemos nenhuma troca de sinal, o que indica que nenhum dos polos em simetria está no semiplano direito, portanto, a única forma desses polos serem simétricos em relação à origem é estando os quatro sobre o eixo .

Portanto temos um polo no semiplano direito e quatro polos sobre o eixo .

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

Colocando os valores no diagrama:

Prosseguindo para a quarta linha:

Colocando no diagrama:

Bom, caímos numa linha de zeros. Sendo assim, precisamos do nosso polinômio auxiliar que pegaremos da linha de cima. A linha de cima é a terceira linha, como a primeira tem ordem quatro, a segunda terá ordem três e a terceira, ordem dois. Portanto o nosso polinômio auxiliar será:

Agora devemos derivar o polinômio para obter os valores que colocaremos no diagrama:

Colocando no diagrama:

Prosseguinto o restante da montagem do diagrama agora:

Não temos nenhuma troca de sinais na primeira coluna, o que indica que não existem raízes no semiplano direito.

Além disso, o nosso polinômio auxiliar apresentou ordem 2, o que significa que existem duas raízes simétrica em relação à origem. Como essas raízes não estão no semiplano direito, a única forma de elas serem simétricas é estando sobre o eixo .

Portanto, temos duas raízes no semiplano esquerdo e duas raízes sobre o eixo .

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema, e para encontrar a equação característica, precisamos da função de transferência em malha fechada para o sistema.

Utilizando álgebra de diagrama de blocos, teremos:

Substituindo:

Manipulando a expressão encontrada:

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Logo de cara já encontramos uma linha de zeros na segunda linha. Precisaremos então usar o nosso polinômio auxiliar para encontrar novos valores para a nossa linha.

Nesse caso, o polinômio auxiliar terá o mesmo grau da primeira linha, ou sea, quatro, e coincidentemente será igual à nossa equação característica:

Derivando o polinômio auxiliar:

Com os coeficientes desse novo polinômio, podemos substituir a linha de zeros que tínhamos encontrado antes:

Para a terceira linha teremos:

E a quarta linha:

Inferno! Mais uma vez uma linha de zeros, vamos lá novamente, polinômio auxiliar:

Derivando o polinômio auxiliar:

Substituindo a linha de zeros:

Terminando de preencher o diagrama teremos:

Falta agora responder onde estão os polos desse sistema em malha fechada.

Bom, uma coisa que podemos reparar logo de cara é que nosso primeiro polinômio auxiliar teve grau quatro, o que significa que existem 4 polos simétricos no nosso sistema, como 4 também é o grau da equação característica, podemos dizer que todos os polos do sistema em malha fechada são simétricos.

Além disso, não tivemos nenhuma mudança de sinal, o que indica que não temos nenhum polo no semiplano direito. Sendo assim, como todos os polos são simétricos e não temos nenhum polo no lado direito, podemos concluir que todos os polos do sistema estão sobre o eixo .

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema. A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Como a função de transferência já foi dada, a nossa equação característica será:

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Para a terceira linha teremos:

Adicionando a nova linha:

E a quarta linha:

Colocando a quarta linha:

Caímos no caso da linha só de zeros. Vamos então determinar nosso polinômio auxiliar a partir da linha anterior:

Derivando o polinômio:

Podemos agora substituir o coeficientes obtidos no lugar da linha de zeros:

Vamos para a quinta linha agora:

Putz, agora ainda fomos abençoados com um zero na primeira coluna. Vamos ter que usar o método do épsilon:

Famos finalizar agora calculando tudo em função de épsilon:

Vamos fazer a nossa análise então. Primeiramente, vamos ver quantas mudanças de sinal existem na primeira coluna. Se épsilon for positivo teremos uma mudança de sinal da segunda para a terceira linha, da quarta para quinta e da quinta para sexta. Três mudanças de sinais.

Se épsilon for negativo, teremos mudança de sinal da segunda para a terceira linha, da quinta para a sexta e da sexta para a sétima. Novamente três mudanças de sinal.

Sendo assim, temos três polos no lado direito. Mas e os outros três polos, estão do lado esquerdo ou sobre o eixo ?

O nosso polinômio auxilizar apareceu na linha quatro e tinha grau quatro também. Sendo assim temos quatro polos simétricos e dois assimétricos. Uma mudança de sinal aconteceu antes da linha de zero aparecer, portanto entre os assimétricos um polo está no lado esquerdo e um no lado direito.

Após a linha de zeros, tivemos duas mudanças de sinais, o que indica que dois dos polos simétricos estão do lado direito, sendo assim, para que esses polos tenham simetria em relação à origem, é preciso que os outros polos apareçam do lado esquerdo. Sendo assim, não temos nenhum polo sobre o eixo .